Методика изучения III признака равенства треугольников

Методика изучения III признака равенства треугольников (по трём сторонам).

1) Мотивация изучения темы

Здравствуйте, ребята.

Прежде чем мы начнём изучать новую тему, давайте вспомним что мы узнали на последних уроках.

Посмотрите на листочки с треугольниками у вас на столах.

Найдите треугольники, которые равны по первому или второму признаку равенства треугольников.

Сформулируйте эти признаки.

Есть ли ещё по-вашему равные треугольники?

[pic 1]

Что вы думаете насчет треугольников 1 и 2?
Есть ли у них равные элементы?

Верно, у них равны три стороны.
Понятна ли вам цель сегодняшнего урока?

2) Работа с формулировкой признака

- Давайте попытаемся самостоятельно сформулировать третий признак равенства треугольников из того, что мы только что рассмотрели.

Формулировка:

«Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны»

[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

- Скажите, что в формулировке теоремы является условием, а что заключением.

Данная теорема рассматривается на множестве треугольников. В условие теоремы входит наличие двух треугольников, равенство трех сторон одного треугольника трем сторонам другого треугольника. В заключение теоремы говорится о равенстве двух треугольников.

Идея доказательства:

Основная идея доказательства в учебнике Атанасяна III признака равенства треугольников состоит в приложении треугольников друг к другу так, чтобы две вершины совпадали, а третьи находились по разные стороны друг от друга. И затем рассматриваются три случая расположения отрезка [pic 11]

3) Доказательство признака

- Давайте докажем этот признак с помощью того, что мы уже прошли. Как вы думаете, можем ли мы использовать метод наложения, как при предыдущих двух признаках? Не можем, так как в данном признаке нет равенства углов и мы не сможем его доказать через совпадение лучей.

• Возможны три случая расположения в зависимости от того, какие треугольники мы рассматриваем: луч С1С проходит внутри угла A1B1C1 (рис. 70, а);
• луч С1С совпадает с одной из сторон этого угла (рис. 70, б);
• луч С1С проходит вне угла A1B1C1 (рис. 70, в).

AB совпадает с A1B1, а точки C и C1 располагаются по разные стороны от AB.

Рассмотрим первый случай (остальные случаи рассмотрите самостоятельно).

[pic 12]

[pic 13][pic 14][pic 15]

[pic 16]

План доказательства:

1. Какие равные элементы вы видите в этом случае? (АС = А1С1, ВС = В1С1)
2. Рассмотрим треугольники ACC1 и BCC1 , что вы можете о них сказать? (равнобедренные по определению)
3. Что мы можем сделать, зная что треугольники ACC1 и BCC1 равнобедренные? (∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 – по свойству)
4. Вспомним равенство каких треугольников нам надо доказать (АВС = А1В1С1)
5. Из того, что мы знаем можем ли мы доказать их равенство? (Да, по I-ому признаку)

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники АВС и A1B1C1, у которых АВ = А1В1, ВС = В1С1, СА = С1А1 (рис. 69). Докажем, что [pic 17]АВС = [pic 18]А1В1С1
2. Приложим треугольник АВС к треугольнику A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, вершина В — с вершиной В1, а вершины С и С1 оказались по разные стороны от прямой A1B1 (рис. 70).
3. Так как по условию теоремы стороны АС и А1С1, ВС и В1С1 равны, то треугольники А1С1С и В1С1С — равнобедренные (см. рис. 70, а).
4. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠A1CB1 = ∠A1C1B1.
5. Итак, АС = А1С1, ВС = В1С1, ∠C = ∠C1.
6. Следовательно, треугольники АВС и А1В1С1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

4) Упражнения на закрепление теоремы по готовым чертежам

Задача 1.

Что представлено на данном чертеже? Как вы думаете, какое дополнительное построение поможет нам решить задачу?

[pic 19]  

Дано:

AB=CD,

AD=BC

Доказать: ∠A=∠C

Анализ задачи.

Равенство углов следует из равенства треугольников. Значит, чтобы доказать равенство углов A и C, надо доказать равенство треугольников с углами A и C. Треугольников пока нет, поэтому необходимо дополнительное построение.

Проведем отрезок BD и рассмотрим треугольники ABD и CDB.