Задча по "Геометрии"
Автор: Galaxy1111 • Май 9, 2023 • Задача • 1,936 Слов (8 Страниц) • 134 Просмотры
Решение 2.1:
[pic 1]
[pic 2]
Ответ: [pic 3]
Решение 2.2:
[pic 4]
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
[pic 8]
Ответ: [pic 9]
Решение 2.3: [pic 10]
- Вычисляем отношение:
[pic 11]
- Вычисляем модуль и аргумент:
[pic 12]
[pic 13]
- Число в тригонометрической и показательной форме:
[pic 14]
[pic 15]
- Используем формулу Муавра:
[pic 16]
- Ищем все значения корня:
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
Решение 2.4
- Множество , операция [pic 22][pic 23]
- Ассоциативность:
[pic 24]
[pic 25]
Два выражения равный, значит ассоциативно.
- Нейтральный элемент:
Зададим нейтральный элемент, как , такой что . Тогда:[pic 26][pic 27]
[pic 28]
[pic 29]
Левый нейтральный элемент существует.
- Обратный элемент:
Найдем обратный элемент к элементу , обозначим временно :[pic 30][pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
Получается, что множество ассоциативно, имеет левый нейтральный элемент и правый обратный элемент. Следовательно, не является группой.
- Множество , относительно операции сложения рациональных чисел.[pic 34]
Проверим сохраняется ли операция сложения:
[pic 35]
Так как целые числа, то – так же являются целыми. При этом . То есть при операции сложения, новый элемент остается в множестве .[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]
- Ассоциативность (вытекает из свойств дробей):
[pic 40]
- Нейтральный элемент для является :[pic 41][pic 42]
[pic 43]
- Обратный элемент для является :[pic 44][pic 45]
[pic 46]
Получается, что множество ассоциативно, имеет нейтральный элемент (левый и правый) и обратный элемент (левый и правый). Следовательно, образует группу.
Решение 2.5
Мультипликативная группа ненулевых комплексных чисел: . Подгруппа положительных действительных чисел: . Фактор группой является . Докажем, что данная группа изоморфна группе . Рассмотрим изоморфизм следующего вида:[pic 47][pic 48][pic 49][pic 50]
[pic 51]
Все корректно, так как . Докажем, что это изоморфизм. Достаточно рассмотреть условие:[pic 52]
[pic 53]
Рассмотрим правую часть:
[pic 54]
Воспользовались тем, что . Получается, что группы изоморфны.[pic 55]
Решение 2.6
Дана мультипликативная группа комплексных невырожденных матриц второго порядка . Найдем порядок элемента:[pic 56]
[pic 57]
Вычислим [pic 58]
[pic 59]
Заметим, что получилась в точности до постоянной единичная матрица. При этом, стоит учесть, что , поэтому, чтобы получить единичную матрицу, надо возвести . Следовательно элемент необходимо возвести в степень:[pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64]
[pic 65]
Получаем, что порядок элемента равен [pic 66][pic 67]
Решение 2.7
Перестановки:
[pic 68]
[pic 69]
- Решим уравнение:
[pic 70]
[pic 71]
[pic 72]
[pic 73]
[pic 74]
[pic 75]
[pic 76]
[pic 77]
[pic 78]
[pic 79]
[pic 80]
[pic 81]
[pic 82]
[pic 83]
[pic 84]
[pic 85]
[pic 86]
[pic 87]
[pic 88]
[pic 89]
- (наименьшее общее кратное длин циклов)[pic 90]
Циклы составляются следующим образом [pic 91][pic 92][pic 93][pic 94][pic 95][pic 96]
[pic 97]
[pic 98][pic 99]
[pic 100]
[pic 101]
[pic 102]
- Определим четность перестановки:
[pic 103]
[pic 104]
Решение 2.8
- Множество , операции сложения и умножения действительных чисел:[pic 105]
Пусть
[pic 106]
Заметим, что операция умножения не сохраняется:
[pic 107]
То есть число:
...