Аналитическая геометрия в пространтсве

Глава 3.1 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Плоскость в пространстве

● Общее уравнение плоскости в пространстве

[pic 1]                       (3.1)

при [pic 2].

Если D=0, то плоскость проходит через начало координат;

если  A=0 (B=0 или C=0), то плоскость параллельна оси  Ох (оси Оу или оси Оz соответственно).

● Нормалью или нормальным вектором плоскости называется отличный от нуля вектор [pic 3] перпендикулярный к данной плоскости.

● Направляющие косинусы нормального вектора:

[pic 4]; [pic 5]; [pic 6].

● Уравнение плоскости с нормалью [pic 7], проходящей через точку [pic 8]:

[pic 9].             (3.2)

● Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки [pic 10], [pic 11] и [pic 12]:

[pic 13].                (3.3)

● Уравнение плоскости в отрезках

[pic 14],                            (3.4)

где a, b, c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях Ox, Oy, Oz соответственно (плоскость проходит через точки [pic 15], [pic 16],  [pic 17]).  

● Нормальное уравнение плоскости

[pic 18],               (3.5)

где [pic 19], [pic 20], [pic 21] – направляющие косинусы вектора нормали; р – расстояние от начала координат до плоскости.

Общее уравнение плоскости (3.1) приводится к нормальному уравнению (3.5) умножением (3.1) на нормирующий множитель [pic 22] (знак [pic 23] выбирается так, чтобы [pic 24]).

● Расстояние от точки [pic 25] до плоскости [pic 26]

[pic 27].                    (3.6)

● Углом между  плоскостями называется один из двух смежных двугранных углов [pic 28], образованный двумя заданными плоскостями; он вычисляется по формуле:

[pic 29],

где [pic 30] и [pic 31] – нормали  плоскостей.

● Условия параллельности и перпендикулярности заданных плоскостей имеют вид соответственно

[pic 32];    [pic 33].

● Уравнение пучка плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую можно записать, используя из них любые две заданные плоскости, например,  [pic 34] и [pic 35], и два параметра [pic 36] и [pic 37]:

[pic 38].    (3.7)

Уравнение любой плоскости можно выделить из уравнения пучка плоскостей подбором параметра [pic 39] или [pic 40], которые одновременно в нуль не обращаются.

Пример 3.1. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и точку [pic 41].

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через ось Oz имеет вид: 

[pic 42].

Координаты  А и В найдем из условия, что плоскость проходит через заданную точку [pic 43]:

[pic 44] [pic 45][pic 46].

Полагая [pic 47], находим [pic 48]. Таким образом, уравнение искомой плоскости имеет вид:

[pic 49].◄

Пример 3.2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки [pic 50] и [pic 51] параллельно оси Oz (рис. 3.1).

[pic 52]

Решение. Плоскость параллельна оси Оz и, следовательно, вектору [pic 53]. Вектор [pic 54], принадлежит плоскости. Плоскости принадлежит также вектор   [pic 55]. Так как векторы компланарны, то их смешанное произведение равно нулю: [pic 56]или