Контрольная работа по "Аналитической геометрии"

Вариант 5

1. Даны матрицы [pic 1] и число [pic 2]. Найти матрицу [pic 3].

  5) [pic 4],   [pic 5]   [pic 6]   [pic 7]

Умножим матрицы: M = A x B

[pic 8]

Умножим матрицу на число: E = 3C

[pic 9]

Сложение матриц: D = M + E

[pic 10]

Ответ: [pic 11]

2)  Дана система линейных алгебраических уравнений

 Найти решение этой системы любым методом.

5.  [pic 12] 

Решаем СЛАУ методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

[pic 13]

Умножим 1-ую строку на (8). Умножим 2-ую строку на (-6). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

[pic 14]

Умножим 2-ую строку на (9). Умножим 3-ую строку на (-8). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

[pic 15]

Умножим 1-ую строку на (8). Умножим 2-ую строку на (-6). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

[pic 16]

Из 1-ой строки выражаем z:

[pic 17]

Из 2-ой строки выражаем y:

[pic 18]

Из 3-ой строки выражаем x:

[pic 19]

Ответ: x = -2;

y = -3;

z = -2.

3) Известны координаты [pic 20], [pic 21], [pic 22] в прямоугольной системе координат [pic 23] трех точек [pic 24], являющихся вершинами треугольника. Изобразить треугольник [pic 25] в этой прямоугольной  системе координат и найти:

3.1. координаты векторов [pic 26], [pic 27] и их длины.

Для [pic 28]:

[pic 29] = [pic 30] – [pic 31]

[pic 32] = [pic 33] – [pic 34], тогда [pic 35]. Аналогично [pic 36].

Найдём длины векторов:

[pic 37]

[pic 38]

Ответ: [pic 39], [pic 40].

[pic 41]; [pic 42].

3.2. скалярное произведение векторов [pic 43], [pic 44] и угол [pic 45] между векторами [pic 46], [pic 47];

Скалярное произведение найдём по формуле:

[pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

[pic 53]

Также [pic 54]

[pic 55] 

[pic 56]

Ответ: [pic 57]; [pic 58].

3.3. векторное произведение векторов [pic 59], [pic 60] и площадь треугольника [pic 61];