Контрольная работа по "Аналитической геометрии"

Вариант 2.2

1(РД2.РП). Запишите общее уравнение прямой, проходящей через точку M0(2,−3) параллельно вектору AB, если A(4,5), B(3,−7).

Решение:

Найдём координаты вектора :[pic 1]

[pic 2]

Так как искомая прямая параллельна вектору , то его можно принять в качестве направляющего вектора. [pic 3]

Записываем уравнение прямой, проходящей через точку  и имеющей направляющий вектор :[pic 4][pic 5]

[pic 6]

Или:

[pic 7]

[pic 8]

Ответ:  – уравнение  прямой проходящей через т.  параллельно .[pic 9][pic 10][pic 11]

2(А82.Б7). Стороны треугольника ABC заданы уравнениями AB: 4x−y−7=0; BC : x+3y−31=0; AC: x+5y−7=0. Запишите общее уравнение высоты AH.

Решение:

Стороны треугольника  заданы уравнениями:[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

Найдём координаты точки , решив систему уравнений:[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Для составления уравнения высоты , воспользуемся условием перпендикулярности прямых:[pic 19]

[pic 20]

Так как , то [pic 21][pic 22]

Из уравнения стороны [pic 23]

Так как  , то  [pic 24][pic 25]

Уравнение прямой с угловым коэффициентом , проходящей через точку , имеет вид:[pic 26][pic 27]

[pic 28]

Тогда уравнение высоты  с угловым коэффициентом , проходящей через точку , имеет вид:[pic 29][pic 30][pic 31]

[pic 32]

Ответ:  – общее уравнение высоты .[pic 33][pic 34]

3(432.БЛ). Запишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки M1(3,0,4) и M2(1,1,0) перпендикулярно плоскости 2x+y+4z−7=0.

Решение:

Нормальный вектор данной плоскости:

[pic 35]

Найдем координаты вектора :[pic 36]

[pic 37]

Тогда уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости  и параллельной вектору  можно представить в следующем виде:[pic 38][pic 39]

[pic 40]

Раскроем определитель и получим уравнение искомой плоскости:

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

Тогда уравнение искомой плоскости:

[pic 44]

или

[pic 45]

Ответ:  – уравнение искомой плоскости.[pic 46]

4(С35). Найдите расстояние от точки P(2,4,4) до прямой {2x−y+z−2=0, x+y−z−1=0.

Решение:

Прямая  задана как линия пересечения двух плоскостей:[pic 47]

[pic 48]

По общим уравнениям этих плоскостей можно записать их векторы нормалей:

[pic 49]

[pic 50]

Векторы нормалей  и  перпендикулярны прямой, образованной пересечением плоскостей. [pic 51][pic 52]

Следовательно, её направляющий вектор может быть найден как векторное произведение векторов  и :[pic 53][pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

Вычислим его длину:

[pic 57]

Определим точку, лежащую на прямой. Для этого решим систему уравнений:

[pic 58]

При  получаем:[pic 59]

[pic 60]

Таким образом, точка, лежащая на данной прямой, имеет координаты .[pic 61]

Тогда вектор с началом в точке  и концом в точке :[pic 62][pic 63]

[pic 64]

Расстояние от точки  до прямой  равно высоте параллелограмма, построенного на векторах  и .[pic 65][pic 66][pic 67][pic 68]

Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , используя  векторное произведение:[pic 69][pic 70]

[pic 71]

[pic 72]

Тогда площадь параллелограмма равна:

[pic 73]

Тогда:

[pic 74]

Ответ:  – расстояние от точки  до прямой .[pic 75][pic 76][pic 77]

5(435). Плоскость проходит через прямую {x−y+1=0, y−z−2=0 параллельно вектору AB=(8,4,7). Найдите длину отрезка, отсекаемого этой плоскостью от оси ординат.

Решение:

Прямая  задана как линия пересечения двух плоскостей:[pic 78]

[pic 79]

По общим уравнениям этих плоскостей можно записать их векторы нормалей:

[pic 80]

[pic 81]

Векторы нормалей  и  перпендикулярны прямой, образованной пересечением плоскостей. [pic 82][pic 83]