Корреляции Пирсона

Про корреляции Пирсона

Пусть наблюдаются две случайные дискретные величины .  Тогда выборочная ковариация этих случайных величин равняется[pic 1]

 ), здесь среднее значение случайной величины . [pic 2][pic 3]

Если ввести обозначение для отклонения случайной величины от ее среднего  значения , ковариация есть среднее значение произведения отклонений от среднего значения для двух дискретных случайных величин. Если все отклонения одного знака, то  , если разного знака . Свойства ковариации есть обычные свойства произведения двух переменных, но только в качестве переменных используются отклонения от среднего.[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Коэффициент корреляции по определению есть нормированная ковариация:

, где дисперсия , среднеквадратическое среднее есть .[pic 8][pic 9][pic 10]

Замечания:

1. Попробуйте найти доказательство неравенства [pic 11]
2. Почему в учебниках по статистике приводится немного другая формула для дисперсии (несмещенность оценки). Обозначение подчеркивает, что сумма квадратов .[pic 12][pic 13][pic 14]

Нулевая гипотеза  состоит в том, что коэффициент корреляции   равен нулю, альтернативная гипотеза   - не равен нулю:[pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18]

.[pic 19]

Для проверки гипотезы о неравенстве нулю коэффициента корреляции нужно знать распределение этой случайной величины. Собственно, более простое распределение имеет величина  , это распределение называется распределением Стьюдента с   степенями свободы:[pic 20][pic 21]

.[pic 22]

Задаем уровень значимости , по его значению определяем?  Если полученное значение , то нулевая гипотеза отклоняется. И если наоборот, , то нулевая гипотеза не отклоняется. [pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

Доверительный интервал для коэффициента корреляции

Для вычисления доверительного интервала применяют преобразование Фишера

,[pic 27]

для преобразованного z стандартная ошибка среднего равна  . Двухсторонний доверительный интервал для z:[pic 28]

левая граница [pic 29]

правая граница .[pic 30]