Парная регрессия и корреляция

1. ПАРНАЯ регрессия и корреляция

1.1. ПОНЯТИЕ РЕГРЕССИИ

Первой задачей эконометрического моделирования является поиск закономерностей исследуемого явления или процесса. Наиболее простым вариантом такой закономерности является парная регрессия, которая позволяет оценить влияние одного параметра x на результирующую функцию y.

Парной регрессией называют уравнение взаимосвязи переменных у         и х :

y = f(x),

где         у – называют зависимой переменной (выходная функция);

  х – называют независимой или объясняющая переменная.

Существуют линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия представляет собой уравнение линии:

y = a + b·x + ε.

Нелинейные регрессии можно разделить на два вида: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных и линейных по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

В качестве примеров регрессий, нелинейных по объясняющим переменным и линейных по оцениваемым параметрам, можно привести следующие уравнения:

•  уравнение  степенного полинома ŷx = a + b1 x + b2 x2 + b3 x3 + ε;
•  уравнение равносторонней гиперболы ŷx =a +b/x + ε.

Примером уравнений регрессии нелинейных по оцениваемым параметрам являются:

•  степенная функция ŷx =a·xb·ε;
•  показательная функция ŷx =a·bx·ε;
•  экспоненциальная  функция ŷx =ea+bx·ε.

Наиболее распространенными являются следующие  модели регрессий:

• прямая ŷx = a + b·x;
• гипербола ŷx = a + b/x ;
• парабола ŷx = a + b·x + c·x2;
• показательная функция ŷx = a·bx;
• степенная функция ŷx= а·хb.

1.2. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ПАРНОГО УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ

Общая задача: по данным n пар наблюдений за изменением двух изучаемых параметров x и y {(xi, yi), i=1,2,...,n} необходимо определить наличие зависимости ŷ=f(x), лучшим образом описывающую исходные данные наблюдений.

Различают два этапа построения уравнения парной регрессии, что влечет за собой решение двух задач: проведение операции спецификации модели, а именно определение вида аналитической зависимости ŷ=f(x)) и проведение оценки рассчитываемых параметров эконометрической модели.

ЭТАП 1 – СПЕЦИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ

Анализ по методу парной регрессии применяется в том случае, когда существует доминирующий фактор, его и называют объясняющей переменной.

Существует три основных метода определения вида аналитической зависимости:

• графический метод, основан на графическом построении и анализе исходной выборки;
• аналитический метод основан на изучении теоретической связи   и статистическом анализе исходных данных;
• экспериментальный метод основан на анализе и сравнении различных моделей регрессии, его называют так же методом перебора.

ЭТАП 2 – ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ

Наибольшее распространение для оценки параметров линейной регрессии получил метод наименьших квадратов (МНК). Он основан на расчете оценок параметров уравнения регрессии из предположения, что сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от расчетных теоретических ŷx при тех же значениях фактора x минимальна, т. е.