Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"
Автор: Vologda • Декабрь 6, 2018 • Контрольная работа • 1,154 Слов (5 Страниц) • 529 Просмотры
Содержание
Вопрос 3………………………………………………………………………...3
Задача 1………………………………………………………………………….5
Задача 2………………………………………………………………………….10
Задача 3………………………………………………………………………….12
Список литературы……………………………………………………………..16
3. Метод множителей Лагранжа.
Метод множителей Лагранжа
Постановка задачи
Дана задача нелинейного программирования
[pic 1]
при ограничениях:
[pic 2]
Предположим, что функции f(x1, х2,..., xn) и gi(x1, x2,..., xn) непрерывны вместе со своими первыми частными производными.
Ограничения заданы в виде уравнений, поэтому для решения задачи воспользуемся методом отыскания условного экстремума функции нескольких переменных.
Для решения задачи составляется функция Лагранжа
[pic 3]
где λi — множители Лагранжа.
Затем определяются частные производные:
[pic 4]
Приравняв к нулю частные производные, получим систему
[pic 5]
Решая систему, получим множество точек, в которых целевая функция L может иметь экстремальные значения. Следует отметить, что условия рассмотренной системы являются необходимыми, но недостаточными. Поэтому не всякое полученное решение определяет точку экстремума целевой функции. Применение метода бывает оправданным, когда заранее предполагается существование глобального экстремума, совпадающего с единственным локальным максимумом или минимумом целевой функции.
Метод неопределенных множителей Лагранжа широко используется в математической и теоретической физике. С помощью этого метода получены уравнения Лагранжа первого рода, которые позволяют формально ввести силы реакции в физические задачи с связями. Неопределенные множители Лагранжа использует также вариационный метод в квантовой механике.
1. Набор состоит из двух продуктов. Функция полезности потребителя имеет вид:
[pic 6]
Числа 1 и 2 показывают минимальные уровни потребления продуктов, то есть объем потребления первого и второго продуктов больше или равен этих чисел. Показатели степеней характеризуют степень важности продукта в наборе.
Выполнить следующие задания:
1. Определить оптимальный набор продуктов, если потребитель имеет доход 100 ден.ед.. Цены продуктов равны 5 и 10 ден.ед.
2. Найти предельные полезности первого и второго продуктов для оптимального набора.
3. Вычислить предельную норму замещения первого продукта вторым для оптимального набора.
4. Найти функции спроса потребителя.
5. Определить эластичность спроса по доходу и цене, используя цены продуктов и доход из первого задания.
Решение: [pic 7]0,5 [pic 8]0,5
[pic 9]
1. Составим модель поведения потребителя:
[pic 10]
[pic 11]
Рассмотрим урезанную задачу:
[pic 12]
[pic 13]
Составим функцию Лагранжа:
[pic 14]
[pic 15]
Найдем решение системы:
Выразим [pic 16]из первого и второго уравнений:
[pic 17]
Приравняем первое и второе уравнение:
[pic 18]
[pic 19]
преобразуя первое уравнение, получаем систему:
[pic 20]
Решая систему, получаем решение:
[pic 21]
Оптимальный набор товаров: объем потребления первого товара – 11 ед., объем потребления второго товара – 4,5 ед.
2. Предельные полезности:
[pic 22] [pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
Если объем потребления первого товара увеличить на малую единицу, а объем потребления второго товара не изменится, то полезность набора может увеличиться максимально на 0,25 ед.
Если объем потребления второго товара увеличить на малую единицу, а объем потребления первого товара не изменится, то полезность набора может увеличиться максимально на 1 ед.
3. Предельная норма замещения первого товара вторым для оптимального набора:
[pic 26]
Если объем потребления первого товара уменьшится на малую единицу, то можно увеличить объем потребления второго товара максимально на 0,25 ед., чтобы полезность нового набора товаров не изменилась.
...