Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

ВАРИАНТ 8

Задание 1

Компания специализируется на выпуске хоккейных клюшек и наборов шахмат. Каждая клюшка приносит компании прибыль в размере 2 ден. ед., а каждый шахматный набор – в размере 4 ден. ед. На изготовление одной клюшки требуется 4 ч работы на участке A и 2 ч работы на участке B. Шахматный набор изготавливается с затратами 6 часов на участке A, 6 ч на участке B и 1 ч на участке C. Доступная производственная мощность участка A составляет 120 н-ч в день, участка В – 72 н-ч и участка С – 10 н-ч. Сколько клюшек и шахматных наборов должна выпускать компания ежедневно, чтобы получать максимальную прибыль?

В работе необходимо сформулировать экономико-математическую модель задачи в виде задачи линейного программирования; построить многогранник решений (область допустимых решений) и найти оптимальную производственную программу путем перебора его вершин и геометрическим способом; привести задачу линейного программирования к канонической форме и решить ее с помощью симплекс-таблиц.

Решение:

1. Обозначим через x1 и x2 количество клюшек и шахматных наборов, которые планируется произвести в планируемом периоде.

Тогда общая прибыль выпущенной продукции составит

F = c1x1 + c2x2 = 2x1 + 4x2.

Необходимо найти такие значения x1 и x2, чтобы величина F была максимальной, т.е. F → max.

Можно утверждать, что переменные x1, x2 не могут принимать произвольных значений, так как их значения ограничены условиями производства продукции.

А именно тем, что компания располагает ограниченными ресурсами работы участков:

4x1 + 6x2≤120[pic 1]

2x1 + 6x2≤72

1x2≤10

Таким образом, задача заключается в нахождении точки максимума  функции F среди точек с координатами (x1; x2), которые удовлетворяют указанным неравенствам.

Запишем сформулированную задачу линейного программирования следующим образом:

F =  2x1 + 4x2 → max.

4x1 + 6x2≤120[pic 2]

2x1 + 6x2≤72

1x2≤10

2. Для сформулированной модели каждую совокупность значений переменных (x1; x2) можно изобразить точкой на плоскости, если ввести систему координат и по одной оси откладывать значение x1, а по другой – x2.

Остановимся на геометрической интерпретации совокупности решений одного отдельно взятого неравенства  4x1 + 6x2≤120.

Рассмотрим прямую на плоскости, представленную уравнением 4x1 + 6x2=120. Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости, в одной из которых справедливо неравенство, а в другой – противоположное. Для того, чтобы проверить, какая из полуплоскостей состоит из решений нашего неравенства, следует взять точку из какой-либо полуплоскости и проверить, выполняется ли оно в этой точке. Множество решений отдельно взятого линейного неравенства представляет собой полуплоскость. Для системы из нескольких таких неравенств точки, координаты которых удовлетворяют всем неравенствам одновременно, должны находиться во всех соответствующих полуплоскостях, т.е. принадлежать теоретико-множественному пересечению этих полуплоскостей. Множество точек на плоскости, удовлетворяющих системе ограничений, составит некоторую выпуклую многоугольную область. Условия неотрицательности переменных x1, x2 ≥ 0 приводят к тому, что эта область находится в первой координатной четверти.

Построенное на плоскости множество решений системы неравенств сформулированной задачи представлено на рис. 1.

Любая точка данного многоугольника удовлетворяет всем ограничениям задачи и соответствует допустимому плану. Если при этом точка лежит на стороне пятиугольника, то ее координаты, подставленные в левую часть ограничения-неравенства, обращают ограничение в равенство. И такое ограничение называется связанным.

Данная ситуация означает, что реализация плана требует полного использования соответствующего ресурса.