Контрольная работа по "Математическому моделированию"

Задача 1. Решение систем линейных уравнений. 3

Теоретический материал для решения задачи. 3

Решение задачи в MathCAD 4

Задача 2. Решение нелинейных уравнений. 6

Теоретический материал для решения задачи. 6

Решение задачи в MathCAD 7

Задача 3. Решение дифференциальных уравнений. 11

Теоретический материал для решения задачи. 11

Решение задачи в MathCAD 12

Список использованной литературы 18

Использованные для решения задач инструменты среды MathCad 19

Задача 1. Решение систем линейных уравнений.

Задание.

Решение задачи состоит в решении системы линейных уравнений, запись которых в матричной форме имеет вид . Для заданных матрицАи В выполнить решение системы линейных уравнений следующими способами:

1. Решить систему линейных уравнений, используя функцию lsolve(A, B) математического пакета MathCAD.

2. Решить систему уравнений методом Крамера или методом Гаусса в зависимости от варианта.

3. Сравнить полученные разными способами результаты вычислений корней системы уравнений.

Исходные данные.

Вариант 7.Метод Гаусса.

Теоретический материал для решения задачи.

Задача решения системы линейных уравнений: необходимо найти неизвестных , , удовлетворяющих системе уравнений

,

где , , – заданныекоэффициенты при неизвестных, , – заданные правые части (свободные члены).

Если обозначить: – матрица размерности с коэффициентами , – вектор-столбец размерности с элементами , – вектор-столбец размерности с элементами , то систему уравнений можно записать в матричном виде: .

Для того, чтобы система имела единственное решение необходимо и достаточно, чтобы .

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных из уравнений.

Введем обозначения: , , ; ,

Расчетные формулы метода Гаусса:

Прямой ход, -й шаг :

, , ;

, , .

Обратный ход:

, ,

Решение задачи в MathCAD

Задаем исходную матрицу коэффициентов и вектор свободных членов системы уравнений:

1. Решение системы линейных уравнений с использованием функцииlsolve(A, B).

Используем встроенную функцию lsolve для нахождения решения:

2. Решение методом Гаусса в MathCAD.

Запрограммируем метод Гаусса для решения системы уравнений:

Обозначения:а – матрица коэффициентов системы;b – вектор свободных членов системы;n– количество неизвестных в системе.

Вызываем записанную функцию и получаем решение заданной системы уравнений:

Проверим правильность решения путем подстановки полученных значений в систему уравнений:

3. Сравнение полученных результатов.

Решили систему уравнений двумя способами, получили одинаковые результаты. Полученные значения х были подставлены в систему уравнений и получены значения, равные свободным членам системы уравнений. Вывод: система уравнений решена правильно.

Задача 2. Решение нелинейных уравнений.

Задание.

Решить нелинейное уравнение.

1. Построить график функции, для проведения предварительного анализа.

2. С использованием функции root (F(x), x, a, b) математического пакета программ MathCAD.

3. Используя известные вычислительные