Проверка статистических гипотез

Решение типовых задач

Тема: Проверка статистических гипотез

Пример 1. Для предприятий розничной торговли в административном районе установлены следующие нормативные показатели эффективности деятельности: средний уровень рентабельности хозяйственной деятельности — 20 %  и средняя продолжительность оборота оборотных средств — 12 дней. Предположим, что более низкие значения уровня рентабельности и скорости оборота означают нарушение ритмичности товарно-денежных операций  и снижение конкурентоспособности предприятий торговли.

С целью оперативного контроля за результатами коммерческой деятельности торговых предприятий района проведен анализ эффективности торговой деятельности и получены следующие данные (табл. 1.2).

Таблица 1.2

Рентабельность торговой деятельности
и оборачиваемость оборотных средств предприятий

Оценим существенность различий между фактическими значениями рассматриваемых показателей и установленными нормативами. Уровень значимости  [pic 2]  зададим равным  0,05.

Решение. Определим следующие параметры многомерной случайной величины:

вектор средних значений [pic 3] = (15,8 17,8);

ковариационная матрица [pic 4]

[pic 5][pic 6]×[pic 7]×

× [pic 8] = [pic 9]×[pic 10] = [pic 11].

Обратная ковариационная матрица  Σ–1 будет равна

[pic 12][pic 13].

Рассчитаем фактическое значение Т2-критерия Хотеллинга

[pic 14]×[pic 15][pic 16]

Критическое значение для заданного уровня значимости  [pic 17] = 0,05 составит

[pic 18]

Как видим, расчетное значение [pic 19]-критерия почти в три раза превосходит критическое (32,16 > 9,8), что свидетельствует о существенности расхождения между фактическими и нормативными значениями анализируемых показателей.

Проверка гипотезы о равенстве двух векторов средних значений

В многомерном статистическом анализе проверяется гипотеза о равенстве  векторов средних значений многомерных величин

[pic 20],

[pic 21],

или в векторной форме

[pic 22];   и   [pic 23].

Для проверки данной гипотезы применяется многомерный Т2-критерий, исчисляемый по формуле

[pic 24],                            (1.3)

где  Х1, Х2 — векторы средних значений; [pic 25] — обратная матрица, рассчитанная для объединенной ковариационной матрицы

[pic 26],

где [pic 27] — матрица центрированных значений [pic 28].

Критические значения для  Т2 находятся по формуле

[pic 29].                   (1.4)

При [pic 30] нулевая гипотеза [pic 31] принимается с вероятностью (1–[pic 32]). Если же  [pic 33], то нулевая гипотеза о равенстве векторов средних значений отвергается.

Пример 2. С целью анализа различий показателей производственно-хозяйственной деятельности родственных предприятий, расположенных в рамках свободной экономической зоны (первая группа) и за ее пределами (вторая группа), было проведено выборочное обследование.