Статистическая проверка статистических гипотез

Тема 4. Статистическая проверка статистических гипотез

Все эксперименты проводятся для того, чтобы дать фактам возможность опровергнуть нулевую гипотезу.
Р. Фишер.

Статистическая проверка статистических гипотез является необходимой составной частью любого статистического исследования. Известно, что исследования в статистике всегда производятся с использованием выборки, то есть экспериментальные данные – это обязательно выборочные данные. Следовательно, все первичные выводы исследования, сделанные при обработке выборочных данных, справедливы пока только в отношении исследованной выборки. Но конечной целью исследования всегда является результат, справедливый для всей генеральной совокупности. Из этого следует, что вопрос о том, будет ли вывод, справедливый для выборки, также справедлив и для генеральной совокупности (или нет) естественно возникает в каждом исследовании. Ответ на такой вопрос решается с помощью процедуры проверки статистических гипотез.

Например, для установления эффективности некоторого препарата была отобрана группа добровольцев (выборка). Предположим, что эксперимент показал эффективность данного препарата. Но этот вывод пока справедлив только для группы людей, попавших в выборку. Цель же исследования – установить, эффективен ли препарат для всех людей, то есть для генеральной совокупности. Для того, чтобы ответить на вопрос о том, можно (или нет) выводы, сделанные на основании исследования выборки, перенести на генеральную совокупность необходимо применить метод статистической проверки статистических гипотез.

Гипотезой называют утверждение, пока не доказанное, но имеющее под собой некоторые основания, полученные путем предварительных рассуждений или опытов.

Статистической гипотезой называют гипотезу о виде неизвестного распределения генеральной совокупности или о параметрах известных распределений.

Примеры статистических гипотез:

1) Генеральная совокупность распределена по закону Пуассона.

2) Дисперсии двух нормальных совокупностей равны между собой.

Выборочные данные позволяют сделать только приближенные оценки распределений и параметров распределений, но они дают возможность выдвинуть обоснованные гипотезы о характере и параметрах генеральной совокупности.

Процедура проверки статистических гипотез

Процедура проверки статистических гипотез происходит следующим образом:

На первом этапе выдвигаются две гипотезы – нулевая и конкурирующая.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу, справедливость которой предстоит проверить. Обозначение нулевой гипотезы: [pic 1]

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит нулевой гипотезе. Обозначение конкурирующей гипотезы: [pic 2]

Пример:                                              [pic 3]

[pic 4]

Нулевая и конкурирующая гипотезы образуют полную группу: если неверна нулевая гипотеза, то верна конкурирующая.

Нулевая гипотеза всегда содержит равенство, например, , а в качестве противоречащей ей конкурирующей гипотезой может быть выбрана одна из следующих гипотез[pic 5]

    Гипотеза «больше»[pic 6]

    Гипотеза «меньше»[pic 7]

    Гипотеза «не равно»[pic 8]

Обычно, основываясь на выборочных данных, можно выдвинуть в качестве конкурирующей или гипотезу «не равно» или одну из гипотез со знаком неравенства: то есть или гипотезу «больше», или гипотезу «меньше». Действительно, если анализ выборок покажет, что  ,то нет смысла выдвигать в качестве конкурирующей гипотезу с противоположно направленным знаком неравенства. Могут быть выдвинуты или гипотеза «больше», или гипотеза «не равно». Выбор одной из этих гипотез часто определяется самой задачей, но в любом случае каждая из этих гипотез приводит к некоторым особенностям при анализе.[pic 9]