Проверка статистических гипотез

Практическая работа №1.

Проверка статистических гипотез

Цели работы:

– освежить и получить теоретические знания по теории вероятности и математической статистики;

– вспомнить основные инструменты качества;

– представить в графическом виде частоту появления измеренных значений параметров объекта (построить гистограмму);

– выдвинуть две гипотезы о законе распределения;

– выполнить проверку статистических гипотез по критерию Пирсона.

Порядок выполнения работы

1 Для работы с статистическими данными необходимо составить ваши исследуемые данные в один столбик.

2. При обработке результатов измерений необходимо исключить результаты с грубыми погрешностями.

1) Ищем среднее значение по формуле:

[pic 1]

2) Отбраковку результатов с грубыми погрешностями можно производить, применяя правило трех [pic 2].

Для этого вычисляется:

[pic 3]

[pic 4]

3) Добавляем столбик рядом с исходными данными, в котором проводится промежуточный расчет для несмещенной дисперсии для каждого значения xi:

[pic 5]

Затем, считаем сумму полученных значений.

4) Далее рассчитываем несмещенную дисперсию:

[pic 6]

Полученное значение умножаем на 3 – опираясь на него будет делаться вывод о наличии грубых погрешностей.

5) Добавляем столбик рядом с промежуточными расчетами и рассчитываем модуль для каждого значения xi:

[pic 7]

6) Делаем вывод о наличии грубых отклонений: если 3S≥Δ (при чем каждого рассчитанного значения Δ)

В случае если встречаются значения 3S≤Δ, это свидетельствует о грубых отклонениях и данные числа отбрасываются, тем самым сокращая число исходных данных.

3. Из полученных данных необходимо сгруппировать статистический ряд, по результатам которого построить гистограмму

1. Сортируем значения Xi от минимального к максимальному;
2. Находим Xmax и Xmin  – максимальные и минимальные значения;
3. Считаем размах – разницу между Xmax и Xmin;

R= Xmax - Xmin

1. Количество интервалов (столбцов/разрядов) определяем через формулу Стерджесса:

k ≈ 1+3,322*ln(N)

1. Ширина интервалов определяется по формуле:

[pic 8]

1. Далее идет этап преобразования упорядоченной статистической совокупности в группированный статистический ряд. Для этого мы определяем, сколько значений из заданной выборки попали в сформированные интервалы.
2. Устанавливаются границы интервалов:

а1=Xmin+h; b1=а1+h – первый интервал;

а2= b1; b2= а2+h – второй интервал; и т.д.

1. Далее рассчитывается, сколько значений попало в каждый интервал (частота попадания), при этом, необходимо проверить все ли 100 значений вошли в интервалы.
2. После считается отношение частоты к количеству исходных данных. Также выполняется проверка по сумме (должно получится 1,0).

[pic 9]

1. Строится гистограмма.

[pic 10]

4. Проверка статистических гипотез по критерию Пирсона

Выдвигаются две гипотезы:

Но – случайная величина распределена по нормальному закону;

Н1 – случайная величина распределена не по нормальному закону,

Для ответа на этот вопрос используется критерий согласия – критерий Пирсона.

1. Для того чтобы найти вероятность того, что случайная величина попадает в заданный интервал, необходимо воспользоваться функцией Лапласа.

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

  ,где[pic 16]

где а – нижняя граница каждого интервала;