Векторлық алгебра

Тақырып 3. Векторлық алгебра

Негізгі сұрақтар:

Тіктөртбұрышты декарттық координаттар жүйесі. Векторлар және оларға қолданатын сызықты амалдар.Базис. n өлшемді арифметикалық векторлар кеңістігі. Сызықты тәуелді және сызықты тәуелсіз векторлар жүйесі, олардың қасиеттері. R3 кеңістігіндегі базистер.Матрица рангісі мен сызықты тәуелсіз векторлар жүйесінің байланысы. Кесіндіні берілген қатынаста бөлу. Векторлардың скаляр, векторлық және аралас көбейтінділері, олардың қасиеттері. Векторлар арасындағы бұрыш.Векторды базистік векторлар арқылы жіктеу. Векторлардың скаляр, векторлық және аралас көбейтінділерін координаттық түрде жазу, оларды геометриялық есептерге қолдану

Тіктөртбұрышты декарттық координаттар жүйесі

      Кеңістіктегі Оxyz тік бұрышты  координат жүйесі масштабты ұзындықты өлшеу бірлігі және О нүктесінде қиылысатын Ох, Оу және Оz өзара перпендикуляр осьтері арқылы анықталады. О  нүктесі – координат басы, Ох – абсцисса осі, Оу – ордината осі, Oz – аппликата осі.

      Айталық М - кеңістіктің еркін нүктесі болсын (Сурет). М нүктесі арқылы Ох, Оу және Оz  координат осьтеріне  перпендикуляр үш жазықтық жүргіземіз.

[pic 1]

      Жазықтықтардың осьтермен қиылысу нүктелерін сәйкес Мх, Му, Мz деп белгілейміз. М нүктесінің тік бұрышты  координаталары деп х=ОМх, у=ОМу, z=OMz сандарын айтамыз, яғни  [pic 2] бағытталған кесінділер шамасын айтады; сонымен қоса, М нүктесінің; х - абсциссасы, у - ординатасы, ал z аппликатасы  деп аталады.

      Сонымен, кеңістіктің әрбір М нүктесіне бір ғана (x;y;z) реттелген үштігі - тік бұрышты  координаталары сәйкес келеді , және, керісінше, әрбір (x;y;z) сандарының реттелген үштігіне  кеңістіктің бір ғана М нүктесі сәйкес келеді. Осылайша, кеңістіктегі  тік бұрышты  координаталар жүйесі кеңістіктің барлық нүктелер жиыны мен сандарының реттелген үштігі арасында өзара бірмәнді сәйкестік құрады.

      Оху, Оуz, Охz жазықтықтары координата жазықтықтары деп аталады. Олар барлық кеңістікті октанталар деп аталатын сегіз бөлікке бөледі.

2. Скаляр және векторлық шамалар. Вектор ұғымы.

      Механикада, физикада және басқа да қолданбалы ғылымдарда кездесетін шамалар екі түрге бөлінуі мүмкін. Тек сан мәндерімен ғана анықталатын шамалар, мәселен, көлем, салмақ, тығыздық, дененің температурасы және тағы басқалары, скаляр шамалар деп аталады. Сондықтан оларды кейде скалярлар дейді. Тек сан мәндерімен ғана анықталып қоймай, сонымен бірге, бағыты да берілетін шамалар векторлық деп аталады. Векторлық шамаларға жататындар; күш, жылдамдық, үдеу және т.б.. Оларды баяндау үшін вектор ұғымы енгізіледі.

 Вектордың анықтамасы

      1 Анықтама. Бағытталған кесінді вектор деп аталалды. Вектор [pic 3] немесе[pic 4]  символымен  белгіленеді. А – вектордың басы, В – вектордың ұшы.      

[pic 5]

      Басы мен ұшы беттесетін векторлар  нольдік векторлар деп аталады және [pic 6] немесе  жай ғана О деп белгіленеді.

      Вектордың басы мен ұшы арасындағы қашықтық оның ұзындығы деп аталады және [pic 7] немесе [pic 8] деп белгіленеді.

      [pic 9] және [pic 10] векторлары коллинеарлы деп аталады, егер олар бір түзу бойында немесе  параллель түзулерде жатса. Коллинеарлы векторлар бағыттас[pic 11] немесе қарама-қарсы [pic 12] бағытта болуы мүмкін.

      2 Анықтама. [pic 13] және [pic 14]  векторлары [pic 15]тең деп аталады, егер олар:

1) олар коллинеарлы және бірдей бағытталған  [pic 16] және

2) олардың ұзындықтары тең, яғни [pic 17]болса.

      Егер [pic 18] және [pic 19] векторлары үшін [pic 20] және [pic 21] шарттары орындалса, онда олар қарама-қарсы векторлар деп аталады және  [pic 22] теңдігі орындалады. Егер  [pic 23] болса, онда оған қарама-қарсы  вектор [pic 24].

      Векторлардың теңдігінің анықтамасынан, векторларды ұзындығы мен бағытын өзгертпей параллель көшіруге болатындығы шығады.