Векторлық алгебра элементтері

5-Лекция

Лекция тақырыбы: Векторлық алгебра элементтері

Жоспары:

1. Негізгі ұғымдар мен анықтамалар.
2. Векторларға қолданылатын сызықты операциялар.
3. Векторлардың сызықты тәуелділігі мен тәуелсіздігі.  
4. Векторлардың координаталық кескінделуі.

1. Негізгі ұғымдар мен анықтамалар

Өзiнiң сандық мәнiмен толық анықталатын шамаларды скалярлық шамалар деп атайды. Скалярлық шамаларға мысалдар: аудан, ұзындық, көлем, масса, жұмыс, температура.

Векторлық шамалар өздерiнiң сандық мәндерiмен және бағыттарымен анықталады. Векторлық шамаларға мысалдар: күш, жылдамдық, үдеу.

        1-анықтама. Вектор деп бас нүктесi [pic 1]-да соңғы нүктесi [pic 2]-да жататын бағытталған [pic 3] кесiндiсiн айтады.

     Берілген вектор үлкен екі латын әріпімен немесе кіші бір латын әріптерімен белгіленеді. Мысалы,  [pic 4] - вектор,  [pic 5] нүктесі осы вектордың бастапқы нүктесі, ал [pic 6]- соңғы нүктесі, вектордың бағыты [pic 7] нүктеден [pic 8] нүктеге бағытталған.

                 В                                         Берілген [pic 9] векторының ұзындығы:[pic 10][pic 11]

             А             [pic 12]                                  [pic 13]  немесе  [pic 14]  деп белгіленеді.

            1-сурет 

        2-анықтама. Коллинеар, бағыттас және модульдері бірдей векторларды тең векторлар дейді [pic 15].

3-анықтама. [pic 16] векторына параллель, модулі тең, бірақ бағыты қарама-қарсы вектор қарама-қарсы бағытталған вектор деп аталады. [pic 17] және [pic 18] векторы (бас нүктесi [pic 19]-да, ал соңғы нүктесi [pic 20]-да) [pic 21] векторға қарама-қарсы вектор деп аталады. [pic 22] векторына қарама-қарсы вектор [pic 23] деп белгiленедi.

 [pic 24] вектордың ұзындығы немесе модулi деп кесiндiнiң ұзындығын айтады да оны [pic 25] деп белгiлейдi. Ұзындығы нөлге тең векторды нөлдiк вектор деп атайды да [pic 26] деп белгiлейдi..

Ұзындығы бiрге тең векторды бiрлiк вектор немесе орто деп атайды. [pic 27] вектордың бiрлiк векторының бағыты осы вектормен бағыттас, оны [pic 28] деп белгiлейдi.

        4-анықтама. Егер векторлар бір түзудің бойында немесе параллель түзулердің бойында жатса, онда мұндай векторлар коллинеар векторлар деп аталады, онда оларды [pic 29] деп жазады.

[pic 30] -қарама-қарсы векторлар.

5-анықтама. Параллель жазықтықтардың немесе бір жазықтықтың бойында жатқан кеңiстiктегi үш векторларды компланар векторлар дейді.

Вектордың бас нүктесiн кеңiстiктiң кез келген нүктесiне параллель жылжытып алып келуге болады.

2. Векторларға қолданылатын сызықтық операциялар 

 Векторларды қосу, азайту және векторларды санға көбейтудi векторларға қолданылатын сызықтық амалдар дейдi. Кеңiстiкте [pic 31] және [pic 32]кез келген екi вектор берiлсiн. Кез келген [pic 33] нүктесiн алып [pic 34] векторын тұрғызамыз. [pic 35] нүктесiнен [pic 36] векторын тұрғызамыз.

6-анықтама. [pic 37] және [pic 38] векторлардың қосындысы деп [pic 39] вектордың басы мен [pic 40] вектордың соңғы нүктесiн қосатын [pic 41] векторын айтады

             Келесi суретте үш [pic 42] және [pic 43] векторлардың қосындысы келтiрiлген.

[pic 44]

2-сурет 

7-анықтама. Екi [pic 45] және [pic 46] векторлардың айырымы деп [pic 47] және [pic 48] векторлардың қосындысы болатын [pic 49] векторын айтады (3-сурет).

[pic 50][pic 51]

а

b

а

b

3-сурет

Атап өтетiн жағдай, [pic 52] және [pic 53] векторларынан тұрғызылған параллелограммның бiр диагоналы, [pic 54] және [pic 55] векторлардың қосындысы, ал екiншiсi айырымы болады (4-сурет).