Векторлық алгебра

4 тақырып. Векторлық алгебра

7-дәріс. 

1.Еркін векторлардың әртүрлі анықтамалары.

2.Еркін векторларға қолданылатын сызықтық амалдар және олардың қасиеттері.

3.Векторлардың сызықты тәуелділігі және тәуелсіздігі, векторлардың сызықты тәуелділігінің геометриялық мағанасы.

Геометрияда нүктелердің кез-келген жиынын фигура дейді. Нүкте, түзу, жазықтық қарапайым фигураларға жатады, оларға анықтама берілмейді, олар алғашқы

ұғым болып табылады.

        Түзудің екі жағынан шектелген бөлігін кесінді дейді. Кесіндінің ұштары белгілі тәртіпте қарастырылса, яғни қай ұшы бастапқы нүкте, қай ұшы соңғы нүкте екені көрсетілсе, онда ол бағытталған кесінді делінеді. Бағытталған кесіндінің А бастапқы, В соңғы нүктесі болса, оны [pic 1] деп (төбесіне сызықша қойып) белгілейді. Бағытталған [pic 2] кесіндінің ұзындығы үшін, кәдімгі [pic 3] кесіндісінің ұзындығы алынады және ол [pic 4], не жай ғана [pic 5] арқылы белгіленеді.

        Геометрияда кез-келген скаляр шаманы сан түзуінің кесіндісімен сипаттаса, векторлық шамаларды бағытталған кесінділермен сипаттайды, яғни векторлық шаманы белгілі ұзындығы және бағыты бар кесіндімен кескіндейді. Ол кесіндінің ұзындығы белгілі бір масштаб бірлігіндегі векторлық шаманың сандық мәніне тең болуы, ал бағыты оның бағытымен дәл келуі керек.

        Анықтама. Вектор дегеніміз – бағытталған және басы мен соңы көрсетілген кесінді.

        Сонымен, вектор ұзындығы және бағытымен анықталатын геометриялық құрылым. Егер А – вектордың бастапқы, В – соңғы нүктесі (немесе ұшы) болса, оны [pic 6] арқылы белгілейді. Вектордың бағыты басынан ұщына қарай алынады, суретте вектор ұшына стрелка қойылады. (1-сутер). Көпшілік жағдайда вектор бір ғана әріппен белгіленеді, мысалы [pic 7], т.с.с. [pic 8]

     Анықтама. Вектордың модулі немесе ұзындығы деп, оның басы мен ұшының ара қашықтығын айтады. [pic 9] вектордың модулі [pic 10] немесе [pic 11] арқылы белгіленеді.

        Вектор үш түрге бөлінеді: байламды вектор, сырғымалы вектор, еркін вектор.

        Байламды вектор деп бастапқы нүктесі белгілі бір нүктеге бекітілген, одан басқа нүктеге көшіруге болмайтын векторды айтады. Мысалы, күш белгілі бір нүктеге байланысты болса, онда оны басқа жерге көшіруге болмайды.

        Сырғымалы вектор деп бір түзудің бойымен жылжитын векторды айтады. Мысалы, қатты затқа әсер ететін күш немесе жылдамдық сырғымалы вектор болады. Мұндай вектор өзі орналасқан түзудің бойындағы кез-келген нүктеге көшіріледі, ал одан басқа түзудің бойындағы нүктеге көшіруге болмайды.

        Еркін вектор деп сол вектор жатқан түзудің бойымен жылжытуға болатын және өзіне-өзі параллель көшірілетін векторды айтады, яғни вектордың бастапқы нүктесі кеңістіктегі кез-келген бір нүктеге көшірілетін болса, ондай вектор еркін вектор деп аталады. Механикада, физикада векторлардың осы үш түрі де кездеседі, ал аналитикалық геометрияда әрқашанда еркін векторлар қолданылады.

        Бастапқы нүктесі мен соңғы нүктесі беттесетін векторларды нөлдік вектор дейді де, [pic 12] арқылы белгілейді. Нөлдік вектордың белгілі бір бағыты болмайды, ал ұзындығы нөлге тең болады, яғни  [pic 13].

     Анықтама.Бір түзуде немесе параллель түзулерде жататын векторларды коллинеар векторлар дейді.

        Коллинеар векторлар не бағыттас, не қарама-қарсы бағытта болады. Егер [pic 14] мен [pic 15] бағыттас векторлар болса [pic 16], қарама-қарсы бағытта болса  [pic 17] арқылы, коллинеар болса [pic 18] арқылы белгіленеді. Нөлдік вектор кез-келген векторға бағыттас болады.

     Анықтама. Нөлдік емес векторлардың бағыттары бірдей, ұзындықтары тең болса, онда олар тең векторлар делінеді. Барлық нөлдік векторлар тең деп саналады.