Элементы качественной теории дифференциальных уравнений и теории колебаний

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«Тульский государственный университет»

Кафедра математического анализа

Курсовая работа

по дисциплине

«Дифференциальные уравнения»

на тему

«Элементы качественной теории дифференциальных уравнений и теории колебаний»

Вариант №21

выполнил                                         студент группы 220531 Филиппова Н.В. проверил                                        доц. каф. МА, к.ф.-м.н. Соболева Д.В.

Тула 2015 год

Содержание:

Задание на работу………………………………………………...………...…..…3

Задание № 1.15………………………….………………………….……………...4

Задание № 2.14………….……………………………………….……………….10

Задание № 3.3…….………………………..……………………….…………….15

Задание № 4.19……...…………………………………….………….…………..16

Задание № 5.24..…………..…………………………….………………………..17

Задание № 6.26...………………………………………………............................21

Задание № 7.15...…………………………………………….……...…….……...23

Список литературы……………………….…………………...…………...…….27

Задание на работу

1.15. Найти особые точки системы. Определить их тип. Построить схематически фазовый портрет в окрестности каждой особой точки.

[pic 1]

2.14. Найдя первый интеграл, изобразить фазовый портрет уравнения на плоскости [pic 2].

[pic 3]

3.3. Найти решения уравнения, удовлетворяющие заданным условиям:

[pic 4]

4.19. Исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева:

[pic 5]

5.24. С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое решение системы:

[pic 6]

6.26. Используя теорему Пуанкаре-Бендиксона, доказать существование цикла у уравнения или системы:

[pic 7]

7.15. Методом Пуанкаре найти приближенно периодические решения данного уравнения:

[pic 8]

Задание 1.15. Найти особые точки системы. Определить их тип. Построить схематически фазовый портрет в окрестности каждой особой точки.

[pic 9]

Для нахождения особых точек решим систему:

[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

Получим особые точки: (1,1),   (1,-1),   (-1,1),   (-1,-1).[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

Для определения типа каждой из особых точек найдем собственные значения матрицы Якоби системы.

                           [pic 18]J(x,y) = [pic 19]

1. Для точки (1,1) получим:[pic 20]

А1=J(1,1) = [pic 21]

Собственные значения матрицы : , [pic 22][pic 23][pic 24]

Так как собственные значения матрицы - вещественные разные числа одинаковых знаков, то точка покоя М1(1;1) является точкой типа «устойчивый узел». Для построения фазового портрета в окрестности М1(1;1) найдем собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям:

Для  матрица будет иметь вид , [pic 25][pic 26][pic 27]

Для  матрица будет иметь вид , [pic 28][pic 29][pic 30]

Проверим полученный результат графически с помощью математического пакета  Maple13.

[pic 31]

2. Для точки (1,-1) получим:[pic 32]

А2=J(1,-1) = [pic 33]

Собственные значения матрицы : , [pic 34][pic 35][pic 36]

Так как собственные значения матрицы - вещественные числа разных знаков, то точка покоя М2(1;-1) является точкой типа «седло». Для построения фазового портрета в окрестности М2(1;-1) найдем собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям:

Для  матрица будет иметь вид , [pic 37][pic 38][pic 39]