Шпаргалка по "Высшей математике"
Автор: Brox 26 • Февраль 4, 2023 • Шпаргалка • 1,879 Слов (8 Страниц) • 211 Просмотры
1. Исчисление высказываний, логические операции.
Высказывание — это выражение, относительно которого можно сделать вывод o его истинности или ложности. Высказывания могут быть истинными, ложными или содержащими истину и ложь в разных соотношениях.
Простое высказывание представляет собой некоторое повествовательное предложение, которое может быть либо истинно, либо ложно, но не то и другое одновременно.
Высказывание является сложным, если оно получено с помощью логических связок («и», «или», «не» и так далее) из нескольких более простых высказываний.
Логические операции:
1) Конъюнкция
Логическое умножение, выражение «AND», обозначается знаком «∧».
Таблица истинности для пары операндов — 1000. Конъюнкция возвращает 1 только тогда, когда оба операнда равны 1, иначе 0.
2) Дизъюнкция
Логическое сложение, выражение «OR», обозначается знаком «⋁». Также называется «слабой дизъюнкцией».
Таблица истинности для пары операндов — 1110. Возвращает 0 только тогда, когда оба операнда равны 0, иначе 1.
3) Отрицание
Инверсия, негация, выражение «NOT», обозначается знаком «¬».
Возвращает противоположный знак: для 0 — 1, для 1 — 0.
4) Сильная дизъюнкция
Исключающая дизъюнкция, выражение «XOR», обозначается символами «⊻» или «⊕».
Таблица истинности для пары операндов — 0110. Возвращает 1 только тогда, когда только один из них равен 1, а второй равен 0.
Может быть определена через основные операции: (A ⊻ B) = ((A ∧ ¬ B) ⋁ (¬ A ∧ B)).
5) Эквивалентность
Тождество, равенство, выражение «EQ», обозначается символами «↔», «⇔» или «≡».
Таблица истинности для пары операндов — 1001. Возвращает 1 только тогда, когда оба операнда равны одновременно 0 или 1.
6) Импликация
Выражает зависимость причины и следствия, обозначается символами «⇒», «→» или «⊃».
Таблица истинности для пары операндов — 1011. То есть возвращает ложь только тогда, когда первый операнд равен 1, а второй — 0.
Может быть определена через основные операции: (A → B) = (¬ A ⋁ B).
7) Штрих Шеффера
Записывается обычно как «|»
Таблица истинности - 1110. Возвращает 0 только тогда, когда оба операнда равны 1.
Можно определить через основные операции как ¬ (A ∧ B)
2. Исчисление предикатов, кванторы.
Предикат — это утверждение, высказанное о субъекте. Субъектом высказывания называется то, о чём делается утверждение. Предикат имеет множество значений {0, 1}.
Например:
Обозначим предикатом EQ(x, y) отношение равенства (“x = y”), где x и y принадлежат R. В этом случае предикат EQ будет принимать истинное значение для всех равных x и y.
Квантор – общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката и создающих высказывание. Чаще всего выделяют только два квантора:
- квантор всеобщности (обозначение: , читается: для любого…, для каждого…, для всех…, каждый…, любой…, все…)[pic 1]
- квантор существования (обозначение: , читается: существует…, найдётся…)[pic 2]
Исчисление предикатов же – это формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функций и предикатов.
Предикаты, так же, как и высказывания, принимают два значения: истинное и ложное, поэтому к ним применимы все операции логики высказываний, а также кванторы:
[pic 3] [pic 4]
...