Шпаргалка по "Высшей математике"

1.         Дать определение матрицы. Записать матрицу в общем виде. Перечислить виды матриц. Привести примеры.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (n – столбцов одинаковой длины).

В общем виде матрицу записывают:

[pic 1]

Виды матриц:

1. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов называют квадратной.
2. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю называют диагональной.
3. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице называю единичной и обозначается Em*m 
4. Квадратная матрица называется треугольной если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю.
5. Матрица, все элементы которой равны нулю называются нулевой и обозначаются 0.
6. Матрица, у которой только один столбец или одна строка называется вектором.
7. Матрица, у которой каждая ее строка заменена столбцом с тем же номером называется транспонированной к данной и обозначается AT.

1. Перечислить действия над матрицами. Привести примеры. Перечислить элементарные преобразования матриц.

Действия над матрицами:

1. Складываются матрицы только одинаковой размерности.

Суммой двух матриц Am*n = (aij) и Bm*n = (bij) называется матрица Cm*n=(cij), где cij = aij + bij

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

1. Вычитание матриц только одинаковой размерности.
2. Умножение матриц на число

Произведением матрицы Am*n = (aij) на число k называется матрица Bm*n = (bij), где bij = k*aij

 , k = 5[pic 5]

[pic 6]

1. Умножение матрицы на матрицу

Умножение матриц возможно только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

  [pic 7][pic 8]

[pic 9]

Элементарные преобразования матриц:

1. Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы
2. Умножение всех элементов ряда матрицы на число отличное от нуля
3. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов ряда, умноженных на одно и тоже число

1. Дать понятие определителя. На примере показать вычисление определителя второго и третьего порядков.

В квадратной матрице A порядка n можно поставить в соответствии число (обозначается detA (|A|;)) называемое определителем.[pic 10]

Вычисление определителя второго порядка:

[pic 11]

[pic 12]

Вычисление определителя третьего порядка:

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

1. Дать определение минора, алгебраического дополнения элемента определителя. Сформулировать определение обратной матрицы, невырожденной матрицы. Записать формулу для нахождения обратной матрицы.

Минором элемента aij определителя n-ого порядка называется определитель n-1 порядка, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца на пересечении которых находится выбранный элемент и обозначается mij.

[pic 18]

[pic 19]

Алгебраическим дополнением элемента aij любого определителя называется его минор взятый со знаком плюс если сумма i+j – четное число и со знаком минус если i+j – нечетное число и обозначается Aij.

Матрица А-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие А*А-1 = А-1 *А = Е, где Е – единичная матрица того же порядка что и матрица А.

Обратная матрица находится по следующей формуле: [pic 20]

Квадратная матрица называется невырожденной если ее определитель не равен 0.

1. Дать определение системы линейных алгебраических уравнений. Записать ее в матричной форме. Перечислить методы решения и их сущность.

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) содержащей m уравнений и n неизвестных называется система вида