Шпаргалка по "Математике"

Билет 1. Матрицы действия с ними.

Матрица – это таблица из m строк и n столбцов. Элементами матрицы могут быть объекты совершенно разнообразной природы: числа, переменные или, к примеру, иные матрицы.

Произведение m×n называют размером матрицы.

Элементы матриц обычно обозначаются маленькими буквами. Например, элементы матрицы A обозначаются aij. Двойной индекс ij содержит информацию о положении элемента в матрице. Число i – это номер строки, а число j – номер столбца, на пересечении которых находится элемент aij. 

Две матрицы одинакового размера Am×n=(aij) и Bm×n=(bij) называются равными, если их соответствующие элементы равны, т.е. aij=bij.

Если для матрицы Am×n верно условие m≠n (т.е. количество строк не равно количеству столбцов), то часто говорят, что A – прямоугольная матрица.

Если для матрицы Am×n верно условие m=n (т.е. количество строк равно количеству столбцов), то говорят, что A – квадратная матрица порядка n.

Элементы i=j в квадратной матрице  образуют главную диагональ матрицы.

Если все элементы матрицы Am×n равны нулю, то такая матрица называется нулевой и обозначается обычно буквой O.

Диагональная матрица называется единичной, если все элементы этой матрицы, расположенные на главной диагонали, равны 1.

Если все элементы квадратной матрицы, расположенные по одну сторону диагонали, равны нулю, то такую матрицу называют треугольной матрицей.

Матрица содержащая одну строку через слеш столбец называется вектором.

[pic 1]

[pic 2][pic 3]

Произведение двух матриц.

[pic 4]

[pic 5][pic 6][pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Билет 2. Определители и их свойства. Минор и алгебраические дополнения. Теорема разложение определителя.

Обозначается определитель матрицы A как ΔA, |A| или detA. Порядок определителя равен количеству строк (столбцов) в нём.

[pic 10]

Свойства:

1. Значение определителя не изменится, если его строки заменить соответствующими столбцами, т.е. [pic 11]
2. Если поменять местами две строки (столбца) определителя, то знак определителя изменится на противоположный.
3. Определитель, у которого все элементы строки (столбца) равны нулю, равен нулю.
4. Определитель, у которого все элементы некоей строки (столбца) равны соответствующим элементам иной строки (столбца) равен нулю.
5. Если в определителе все элементы одной строки (столбца) пропорциональны соответствующим элементам иной строки (столбца), то такой определитель равен нулю.
6. Если все элементы строки (столбца) имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.
7. Определитель не изменится, если ко всем элементам некоей строки (столбца) прибавить соответствующие элементы иной строки (столбца), умноженные на произвольное число.
8. Если в определителе некая строка (столбец) есть линейная комбинация иных строк (столбцов), то определитель равен нулю.
9. Если каждый элемент некоей k-й строки (k-го столбца) определителя равен сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме определителей, у первого из которых в k-й строке (k-м столбце) стоят первые слагаемые, а у второго определителя в k-й строке (k-м столбце) расположены вторые слагаемые. Иные элементы этих определителей одинаковы.
10. Определитель произведения двух квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц, т.е. det(A⋅B)=detA⋅detB. Обобщение этого правила: [pic 12]
11. Если матрица A – невырожденная (т.е. её определитель не равен нулю), то [pic 13]

Минор Mij элемента aij

Минором Mij элемента aij матрицы An×n именуют определитель матрицы, полученной из матрицы A вычёркиванием i-й строки и j-го столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится элемент aij).

[pic 14]

Алгебраическое дополнение Aij элемента aij

Алгебраическое дополнением Aij элемента aij матрицы An×n находится по следующей формуле:[pic 15]где Mij – минор элемента aij.

Билет 3. Системы линейных уравнений. Методы Крамера, обратной матрицы,Гаусса. Ранг матрицы.

Матрица A−1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если выполнено условие A−1⋅A=A⋅A−1=E, где E – единичная матрица, порядок которой равен порядку матрицы A.