Шпаргалка по "Высшей математике"

Вопрос 1 Декартова прямоугольная и полярная система координат.

 Прямоугольная система координат на плоскости.

Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу (рис.1.1), образуют прямоугольную (декартову) систему координат на плоскости.Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу ─ осью ординат, а обе оси вместе ─ осями координат. Точка О пересечения осей называется началом координат. Плоскость, в которой расположены оси Ох и Оу, называется координатной плоскостью и обозначается Оху.

 [pic 1]

Введение прямоугольной системы координат на плоскости позволяет установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством пар чисел, что даёт возможность при решении геометрических задач применять алгебраические методы.

Полярная система координат.Полярная система координат состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из неё луча ОЕ ─ полярной оси. Кроме того, задаётся единица масштаба для измерения длин отрезков.

Пусть задана полярная система координат и пусть М - произвольная точка плоскости. Пусть ρ ─ расстояние от М до полюса О; ϕ ─ угол, на который надо повернуть против часовой стрелки  полярную ось для совмещения с лучом ОМ (рис.1.2). [pic 2]

Полярными координатами точки М называются числа ρ и ϕ. При этом число ρ считается первой координатой и называется полярными радиусами, число ϕ ─ второй координатой и называется полярным углом. 

Вопрос 2Простейшие задачи аналитической геометрии

А.Расстояние между двумя точками.

Пусть задана прямоугольная система координат.

        Теорема 1.1. Для любых двух т. М1(х1;у1) и М2(х2;у2) пл-ти расстояние d  между ними выражается формулой

d = [pic 3]

До-во.

 2) Т. К совпадает с т. М2, но отлична от точки М1 (рис.1.5). В этом случае у2 = у1 и d =  М1М2  =  М1К  = ⎮х2 – х1⎮= [pic 4] = [pic 5]. [pic 6]

Б.Деление отрезка в данном отношении.

Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М1М2 и пусть М ─ любая точка этого отрезка, отличная от точки М2 (рис.1.6). Число λ, определяемое равенством  λ =, [pic 7]        называется отношением, в котором точка М делит отрезок М1М2. [pic 8]

Теорема 1.2.  Если точка М(х;у) делит отрезок М1М2 в отношении λ, то координаты этой точки определяются формулами

х = [pic 9]  , у = [pic 10],  (4)  где (х1;у1) ─ координаты точки М1, (х2;у2) ─    координаты точки М2.

Следствие 1.2.1. Если М1(х1;у1)  и М2(х2;у2) ─ две произвольные точки и точка М(х;у) ─ середина отрезка М1М2, то     х = [pic 11],   у = [pic 12].    (5)  

Доказат.Так как М1М = М2М, то λ = 1 и по формулам (4) получаем формулы (5).

В.Площадь треугольника.

Теорема 1.3. Для любых точек А(х1;у1), В(х2;у2) и С(х3;у3), не лежащих на одной

прямой, площадь S треугольника АВС выражается формулой

                                 S = [pic 13]⎮(х2 – х1)(у3 – у1) – (х3 – х1)(у2 – у1)⎮.   (6)

Вопрос 3  Уравнение прямой на плоскости

Определение 2.1. Уравнение вида F(x,y) = 0, связывающее переменные величины x и y, называется уравнением А.Уравнение прямой с угловым коэффициентом.[pic 14]

Пусть l ─ прямая, не параллельная оси Oy.

Пусть M(x;y) ─ произвольная точка прямой l. Из ∆ BMN имеем  tg φ = MN/BN = (y-b)/x

Эту величину tg φ обозначают k и называют угловым коэффициентом прямой. Тогда k =(y-b)/x, откуда  y = kx + b.  (1) - уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть прямая проходит через точки M1(x1;y1) и  M2(x2;y2). Искомое уравнение прямой y = kx + b ,.Так как прямая проходит через точку М1,  то по уравнению (2) y2 – y1 = k(x2 – x1), откуда k = y2 – y1 /(x2 – x1).    Тогда искомое уравнение [pic 15] = [pic 16].              

Б.Общее уравнение прямой. Теорема 2.1. Каждая прямая на плоскости с прямоугольной системой координат определяется уравнением первой степени Ax + By + C = 0, где A и B не равны 0,

Уравнение первой степени  называется общим уравнением прямой на плоскости.

В.Уравнение прямой в отрезках на осях координат.

Пусть прямая пересекает оси Ox и Oy соответственно в точках A и B (рис.2.3). Пусть A(a,0) и B(0,b). Из уравнения (4) имеем  [pic 17]= [pic 18],              [pic 19] + [pic 20] = 1.Уравнение    [pic 21] +[pic 22]  = 1    (6)называется уравнением прямой в отрезках на осях координат.[pic 23]

Вопрос 4 Угол м-д прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости  .   А.Угол между прямыми на плоскости.

Рассмотрим на плоскости две прямые R1 :  y = k1x + b1 и  R2 :  y = k2x + b2  с углами наклона к оси Ox соответственно φ1 и φ2 (рис.2.4).[pic 24]

Определение 2.2. Углом между прямыми  R1 и R2 будем называть меньший из смежных углов, образованных этими пересекающимися прямыми.

Б.Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

1) Если прямые R1 и R2 параллельны, то φ = 0. Тогда  tg φ = 0 и из формулы (7) имеем k2 - k1 = 0 или k2 = k1. Таким образом, условием параллельности двух прямых на плоскости является равенство их угловых коэффициентов.

2) Если прямые  R1 и R2 перпендикулярны, то φ = [pic 25]. Так как φ = φ2 – φ1 , то  φ2 = [pic 26] + φ1  и  tg φ2 = tg([pic 27] + φ1) = ctg φ1 = - [pic 28],  т.е.  k2 = - [pic 29].  (8) Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Вопрос 5 Расстояние от точки до прямой на пл-ти. Взаимное расположение двух прямых на пл-ти  А.Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Расстояние d от точки М(х0;у0) до прямой ℓ, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0  на плоскости определяется формулой   d = [pic 30].   (1)[pic 31]

Б.Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 заданы своими общими уравнениями. [pic 32]    (3)

Решаем эту систему:

а)[pic 33]    (А1В2 – А2В1)у = С1А2 – А1С2 .  (4

Возможны следующие случаи:

1) А1В2 – А2В1 ≠ 0   т.е.  А1В2 ≠ А2В1 ⇒ [pic 34]. Тогда из формул (4) и (5) находим единственное решение системы (3): х = [pic 35],  у = [pic 36]. (6) решение системы (3) означает, что прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются. Формулы (6) дают координаты точки пересечения.

2)  А1В2 – А2В1 = 0   т.е.  А1В2 = А2В1 ⇒. [pic 37]

Таким образом,  [pic 38]. Тогда А1 = kA2,  B1 = kB2,  C1 = kC2. Теперь, уравнение прямой ℓ1 имеет вид: kA2x + kB2y + kC2 = 0 или A2x + B2y + C2 = 0.

Следовательно, прямые ℓ1 и ℓ2, имея одно и то же уравнение, совпадают.

Вопрос 6 Линии второго порядка на пл-ти: окружность, эллипс, гипербола, парабола  А.Линии второго порядка на плоскости.

Линии, уравнения которых в прямоугольной систем координат являются уравнениями второй степени, называются линиями второго порядка.[pic 39]

А.Эллипс. Окружность.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами. Пусть F1(-c,0) и F2(c,0) ─ фокусы. Тогда F1F2 = 2c ─ фокусное расстояние (рис.4.1).  Постоянную величину, о которой идёт речь в определении эллипса, обозначим 2a

[pic 40] = 1   (1)   Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси, т.е.  ε = с/а . Так как 0 [pic 41] c < a, то  0 [pic 42] ε < 1

В.Парабола.

Определение 4.3. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой, и не проходящей через фокус. 

[pic 43],(4) Уравнение   y2 = 2px   (4) называется каноническим уравнением параболы. Величину p называют параметром параболы. Парабола с уравнением (4) изображена на рис.4.8.

 Точка O называется вершиной параболы, ось симметрии ─ осью параболы. Если парабола имеет уравнение y2 = - 2px, то её график расположен слева от оси Oy (рис.4.9). Уравнения  x2 = 2py  и  x2 = -2py, p > 0 определяют параболы, изображённые на рис.4.10 и рис.4.11, соответственно.