Шпаргалка по "Математике"

1.Метрические, линейные, нормированные пространства.

2.Понятие функции m переменных. Предел функции m переменных.

Понятие:

Пусть даны множества D[pic 1]Rn и I[pic 2]R.

Определение 1. Если каждой точке [pic 3] множества D ставится в соответствие единственное число у из I, то говорят, что задана функция n переменных у=f(x1, …, xn). Множество D называется областью определения функции D(у)=D, множество I называется множеством значений функции I (у)= I.

Если зафиксировать любые n-1 переменные, то функция многих переменных превращается в функцию одной переменной. x2=с2, x3=с3, …, хn=cn; y=f(x1, c2, …, cn) - функция одной переменной х1.

Пример. [pic 4] - функция двух переменных,

[pic 5]- функция трех переменных.

Пусть имеется n+1 переменная x1, x2, ..., xn, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x1, x2, ..., xn соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x1, x2, ..., xn называется значением функции f в точке (x1, x2, ..., xn), что записывается в виде формулы y = f(x1,x2,..., xn) или y =y(x1,x2,..., xn).

Переменные x1, x2, ..., xn являются аргументами этой функции, а переменная y  функцией от n  переменных.

3.Непрерывность функции m переменных. Непрерывность функции m переменных по одной из переменных.

4.Непрерывность сложной функции.

Пусть функция ϕ(t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в точке х0=ϕ(t0). Тогда функция f(ϕ(t)) непрерывна в точке t0.

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем

[pic 6]

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что

[pic 7],

что и говорит о том, что f(ϕ(t)) непрерывна в точке t0.

Обратите внимание на следующие детали:

а) т.к. x=ϕ(t), то |ϕ(t)-ϕ(t0)|<δ  может быть записано как |x-x0|<δ , и f(x) превращается в F(ϕ(t));

б) при определении непрерывности ϕ(t) в точке t0 в первом кванторе стоит буква δ . Это необходимо для согласования с квантором [pic 8]в предыдущей строке и взаимного уничтожения [pic 9]. Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата.

5.Частные производные функции m переменных.

6.Дифференцируемость функции m переменных.

7.Дифференциал функции m переменных.

8.Дифференцирование сложной функции.

9.Производная по направлению. Градиент.

Производная по направлению. Если в n-мерном пространстве задан единичный вектор[pic 10] , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению:[pic 11] . В частности, для функции трех переменных  [pic 12],  [pic 13]- направляющие косинусы вектора  [pic 14].

Градиент. Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора  [pic 15]и вектора с координатами  [pic 16], который называется градиентом функции   [pic 17]и обозначается    [pic 18]. Поскольку  [pic 19], где  [pic 20]- угол между   [pic 21]и  [pic 22], то вектор[pic 23] указывает направление скорейшего возрастания функции   [pic 24], а его модуль равен производной по этому направлению.

10.Квадратичные формы. Критерии Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

Скалярная функция векторного аргумента, которая представляет собой однородный многочлен второго порядка, называется квадратичной формой.

[pic 25]

[pic 26]R.

(критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все левые верхние угловые миноры матрицы А являются положительными, т.е.

[pic 27],

[pic 28],

[pic 29],

[pic 30]

11.Локальный экстремум функции m переменных. Необходимое условие локального экстремума.

12.Достаточные условия локального экстремума.

1. предположим, что в некоторой окрестности точки х0 существует f'(х) ( в самой точке х0 производной может не существовать). Допустим, что с приближением к точке х0 слева функция f(х) возрастает (т.е. f'(х)>0), а после точки х0 убывает (т.е. f'(х)<0). Очевидно, что в точке х0 имеется максимум. Вывод: Если в достаточно малой окрестности точки х0  f'(х)>0 при х< х0 и  f'(х)<0 при х > х0 , то в точке х0 имеется максимум.

Если в достаточно малой окрестности точки х0  f'(х)<0 при х< х0 и  f'(х)>0 при х > х0 , то в точке х0 имеется минимум.

2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью второй производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки  х0 , в том числе и в самой точке  х0 , существует первая производная f'(х). Кроме того, в точке х0 существует вторая производная f''(х0). Исходя из выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что f''(х0)=0. Посмотрим теперь на f''(х)как на первую производную от функции

Допустим, что f''(х0)>0. Это означает, что f'(х) возрастает при переходе значений х < х0 к значениям х > х0 . Но f'(х0)=0, поэтому возрастание f'(х0)<0, при х < х0 и f'(х0)>0, при х > х0 . (для значений х из достаточно малой окрестности х0 ). В соответствии с п.1 получается минимум в точке х0 . Аналогичное рассуждение при f''(х0)<0 приводит к существованию максимума в точке х0 . Вывод: если f'(х0)=0, а f''(х0)<0, то функция y=f(x) имеет локальный максимум в точке х0 . Если f'(х0)=0, а f''(х0)>0, то функция y=f(x) имеет локальный минимум в точке х0.[pic 31]

13.Неявные функции. Производные неявных функций.

Неявная функция одной переменной. Пусть в некоторой области  [pic 32]плоскости [pic 33]задана функция [pic 34], и пусть линия уровня этой функции , определяемая уравнением  [pic 35], является графиком некоторой функции   [pic 36], определяемой уравнением   [pic 37]. В этом случае говорят, что функция    [pic 38]задана неявно уравнением  [pic 39]. Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция   [pic 40]и ее частная производная по   [pic 41]непрерывны в    [pic 42],[pic 43] . Тогда в некоторой окрестности точки  [pic 44]существует единственная непрерывная функция     [pic 45], задаваемая уравнением   [pic 46], так, что в этой окрестности   [pic 47].

Неявная функция многих переменных. Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение    [pic 48]задает неявно функцию  [pic 49]. Это же уравнение может задавать неявно функцию [pic 50]или     [pic 51].

 Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение [pic 52]:[pic 53] . Отсюда получим формулу для производной функции   [pic 54], заданной неявно:  [pic 55]. Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением   [pic 56]: [pic 57], [pic 58].

14.Условный экстремум функции m переменных.

Пусть функция  [pic 59]определена в некоторой области  [pic 60]и в этой области задана кривая уравнением [pic 61]. Условным экстремумом функции двух переменных [pic 62]называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить [pic 63], то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной [pic 64].

15.Метод множителей Лагранжа.

Если уравнение [pic 65]не разрешимо ни относительно  [pic 66], ни относительно [pic 67], то рассматривают функцию Лагранжа[pic 68]. Необходимым условием существования условного экстремума функции [pic 69]при условии [pic 70]является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа:  [pic 71].

16.Первообразная. Лемма. Теорема о первообразной.

17.Понятие неопределенного интеграла. Основные свойства.

Если F(x) –первообразная и f(x) сущю на промежутке X, то множество ф-ий f(x)+c, где С-const называется непоределенным интегралом от ф-ии f(x) на этом промежутке и обозначается ∫f(x)dx=F(x)+c

Свойства:

1) ( ∫f(x) dx )′=f(x);

2) ∫f′ (x) dx= f(x)+C ;

3) d ∫f(x) dx= f(x)dx;

4) ∫d f(x)=f(x)+C ;

5) ∫kf(x)dx=k∫f(x) dx;

6) ∫(f(x)+g(x))dx=∫ f(x) dx+∫g(x) dx ;

7)Если ∫f(x) dx = F(x) + C, то ∫f(ax+b) dx =[pic 72](a ≠ 0).

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.

18.Метод замены переменных.

В некоторых случаях нахождение интеграла упрощается при переходе к другой переменной интегрирования. При этом если исходная и новая переменные [pic 73] и [pic 74] связаны соотношением [pic 75], где [pic 76] - обратимая дифференцируемая функция, то для интегралов справедливо равенство

[pic 77],

в правой части которого после вычисления интеграла следует сделать обратную замену [pic 78].

В частности, используя замену [pic 79] (или [pic 80]), получаем формулу

[pic 81],

позволяющую обобщить табличные интегралы. Например:

[pic 82] ([pic 83]),

[pic 84],

[pic 85],

где [pic 86] и [pic 87] - произвольные постоянные, [pic 88].

19. Интегрирование по частям.

Интегрирую выражение любого дифференциала произведения, получим:

[pic 89]

[pic 90][pic 91]

Пример:

[pic 92]

Рекомендации:

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

[pic 93]    (Pn –многочлен степени n )

Pn принимается за u

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

[pic 94]

 за u → [pic 95]

Интегрирование с подстановкой выражений вида [pic 96] после  двукратного интегрирования по частям приводится к линейному уравнению относительно вычисляемого интеграла.

20.Основные типы интегралов, берущихся по частям.+++21.Интегрирование рациональный алгебраических функций.

(см. дополн шпору)

22.Метод неопределенных коэффициентов.

1. Разложим знаменатель на множители:

[pic 97]

2. Правильная дробь разлагается в сумму простейших и каждому множителю вида [pic 98]соотв. сумма из n простейших дробей вида:

[pic 99] с неопределенным коэф. A1 …n 

Каждому множителю вида[pic 100] соот. сумма из m простейших дробей вида:[pic 101]

с неопределенным коэф.B1 C1…

3. Неизвестный коэф. находится методом неопределенных коэф., основанном на: определении, что 2 многочлена тождественно совпадают, если у них равные коэффициенты при одинаковых степенях.

4. Приравнивая коэф. при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений относительно неизвестного уравнения.

23.Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.

Определение. Пусть непрерывная функция от одной переменной задана на отрезке [a, b].

1) Тогда разбиением отрезка [a, b] называется конечное множество точек х0 , х1 ... хn , где

а = х0 < х1< х2 < .... < хn-1 < хn = b

2) обозначим через D хi = хi – хi-1, i=1, 2, …, n

Диаметром разбиения называется

 D = [pic 102][pic 103] - длина максимального из отрезков разбиения.

На каждом отрезке [pic 104], i = 1, 2, …, n, произвольно выберем [pic 105]  и составим сумму

[pic 106] (13)

которая называется интегральной суммой Римана функции f(х), соответствующей

данному разбиению отрезка [а, b]  и выбору точек [pic 107].

Теперь выясним геометрический смысл интегральных сумм Римана.

Пусть f (х) непрерывная на отрезке [а, b] функция, причем f (х)[pic 108]0, [pic 109].

Произведение f([pic 110])Dхi равно заштрихованной площади прямоугольника с основанием D х= хi - хi-1  и высотой f ([pic 111]).

Тогда сумма

[pic 112]

представляет собой сумму площадей n прямоугольников, с основаниями D хi и высотами f ([pic 113]), i = 1, 2…, n. Здесь х0=а, хn = b.

Если при стремлении к нулю диаметра разбиения отрезка [а, b] существует предел (14), то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейный трапеции.

24.Свойства определенного интеграла.

Df. Промежуток с гранич. т. A и B ориентированным, если указано направление перехода от т. A к т. B.

1. Пусть сущ. определенный интеграл [pic 114] сущ. определенный интеграл[pic 115] и справедливо равенство

[pic 116]

2. [pic 117]

Док-во:

[pic 118]

[pic 119]

3. Свойство линейности определенного интеграла:

        1. Пустьф-ии[pic 120]интегрируемы на [pic 121]***

[pic 122]

        2. Пусть [pic 123], то для любой произвольной постоянной [pic 124] [pic 125] - справедлива формула [pic 126]

4. Аддитивность определенного интеграла:

Пусть ф-ия [pic 127] интегрируема на большем их трех помежутков [pic 128], тогда она интегрируема на обоих меньших промежутках и справедлива формула:

[pic 129]

Свойство монотонности.

1. Пусть ф-ия [pic 130] неотрицательна на [pic 131] и интегрируема на нем, [pic 132]

Док-во: В силу н-ва для ф-ий любая интегрируема ф-ия неотрицательна ⇒ любая последовательность интегрируемых сумм будет иметь неотрицательный предел ⇒ интеграл будет неотрицательным.

[pic 133]

[pic 134]

2. Пусть ф-ия [pic 135] на [pic 136], искл. конечн. точек, и интегрируема на [pic 137], тогда [pic 138]

Док-во:  Из интегрируемости следует, что предел не зависит от выбора разбиения на [pic 139]. Достаточно строить инт. разбиения так, чтобы точки, в которых ф-ия равна нулю, являлись точками разбиения. А следовательно в силу аддитивности интеграл по всему прмежутку равен сумме интегралов по частичным промежуткам, т.к ****

[pic 140]

Df Две ф-ии [pic 141], заданные на [pic 142], значения которых различны на [pic 143] лишь в конечном ч. точек называются эквивалентными на этом отрезке.

3. Инт. от эквивалентных ф-ий совп.

Пусть [pic 144]эквивалентны и интегрируемы на [pic 145], тогда [pic 146] (они не совпадают а интегралы совпадают).

Д-во:

[pic 147] на [pic 148] лишь в конеч. ч. точек отр. [pic 149], следовательно по 2му [pic 150] 

[pic 151]

4. Пусть [pic 152] на [pic 153], кроме конечного ч. точек, [pic 154] инт. на [pic 155], [pic 156], то [pic 157]

5. Пусть [pic 158] инт-ма на [pic 159] ⇒ модуль ф-ии тоже интегрируем на [pic 160] и справедливо неравенство:

[pic 161]

6. Пусть [pic 162] интегрируема на [pic 163], [pic 164], то существует М, такая что [pic 165]

25.Интеграл с переменным верхним пределом.

Теорема о его непрерывности.

Теорма: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то функция

непрерывна на этом отрезке.[pic 166]

Доказательство: Дадим числу х приращение ∆х так, чтобы х+∆х∈[a,b]. Для наглядности изобразим на числовой оси один из возможных вариантов расположения точек:

[pic 167][pic 168][pic 169][pic 170][pic 171]

[pic 172][pic 173]

             a            x0                     x            х+∆х      b[pic 174]

[pic 175]

Получим:[pic 176]

По  теореме (Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке, то интегрируема и абсолютная величина |f(x)|, причем

…(на этом теорема закончилась, но неравенство относится к ней.) и следствию из теоремы (Если на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и удовлетворяет неравенству m≤f(x)≤M. То выполняются неравенства:[pic 177]

(на этом следствие из теоремы закончилось)

получаем:

Отсюда следует, что при ∆х→0 будет ∆F→0. Это доказывает непрерывность функции F(x). Отметим, что для подынтегральной функции f(x) точка х может быть точкой разрыва.

26.Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть F(x) -произвольная первообразная для функции f(x), заданной на промежутке [a,b]. Так как две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое, то верно равенство (1):

[pic 178]

( в качестве числа х0 взято число а).

В этом тождестве положим х=а и получим ,[pic 179]

Откуда С = -F(a). Формула (1) примет вид:

Заменяя здесь х на b, приходим к формуле Ньютона-Лейбница:

[pic 180]

Иногда ее правую часть записывают короче с помощью двойной подстановки:

[pic 181]

27.Замена переменных в определенном интеграле.

Теорема: при замене переменной х на t по формуле x=φ(t) равенство (1)

[pic 182]

Справедливо при условиях:

1. φ(α) = а, φ(β) = b,

2. φ'(t) непрерывна на отрезке [α,β],

3 f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а f[φ(t)] определена  непрерывна на отрезке [α,β].

Доказательство: при наших предположениях левая и правая части равенства (1) существуют и существуют первообразные подынтегральные функции. Пусть ∫f(x)dx = F(x)+C. Тогда, как легко проверить дифференцированием обеих частей, справедливо равенство ∫f[φ(t)]φ'(t)dt = F[φ(t)]+C правая часть дифференцируется как сложная функция). Применяем формулу Ньютона-Лейбница [pic 183]

Получаем

[pic 184]

(по условию 1)

правые части этих двух равенств оказываются одинаковыми, следовательно, можно приравнять левые части. Приравнивая их, приходим к равенству (1). Ч.т.д.

28.Формула интегрирования по частям определенного интеграла.

Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции. Проинтегрируем равенство d(uv)=udv+vdu в пределах от a до b.

[pic 185]

В левой части применим формулу Ньютона-Лейбница:

Получим:

[pic 186][pic 187][pic 188]

29.Приложение определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции.

Площадь s криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=Ах2+Вх+С, проходящей через точки М1 (-h; y1), M2 (0, y2), M3 (h, y3) (рис. 2) выражается формулой

[pic 189](2)

Доказательство. Подставляя в уравнение у=Ах2+Вх+С координаты точек М1, М2, М3, получаем у1=Аh2-Вh+С; у2=С; у3=Аh2+Вh+С, откуда следует, что

2Аh2+2С=у1+у3; С=у2 (3)

Учитывая соотношение (3), имеем

[pic 190]

Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой y=f(x). Разобьем отрезок [a, b] на 2π равных отрезков точками a=x012<...2k2k+12k+2<...2n-12n=b, а кривую y=f(x) с помощью прямых x=xk на 2n соответствующих частей точками М0 , М1 , М2 , ..., М2k , М2k+1 , М2k+2, ..., М2n-2 , М2n-1 , М2n (рис. 3).

Через каждую тройку точек

М0 М1 М2 , ..., М2k М2k+1 М2k+2, ..., М2n-2 М2n-1 М2n

проведем кривую вида у=Ах2+Вх+С (см. лемму 1.1). В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 3). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку [x2k, x2k+2], приближенно равна площади соответствующей “параболической” трапеции, то по формуле (2) имеем [в данном случае h=(b-a)/(2n)]

[pic 191]

где yk=f(xk), k=0, 1, 2, ...,2n. Складывая почленно эти приближенные равенства, получаем приближенную формулу

[pic 192]

или в развернутом виде

[pic 193]

Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.

30.Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула трапеций.

[pic 194]

Пусть требуется вычислить интеграл [pic 195], где f(x) - непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x)≥ 0. Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками a=x012<...k-1k<...n=b и с помощью прямых х=хk построим n прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис. 1). Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е.

Где f(xk-1) и f(xk) - соответственно основания трапеций; xk - xk-1 = (b-a)/n - их высоты.

Таким образом, получена приближенная формула

[pic 196]

которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.

31.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. +++32.Несобственные интегралы второго ряда.

Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций.
   Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от a до +Ґ определяется равенством

[pic 197]

   Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует, - расходящимся.
   Аналогично

[pic 198]

и

[pic 199]

   Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [a,b] и непрерывна при a <= x < с и с < x < b, то по определению, полагают

[pic 200]

33.Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов.

Рассмотрим числовую последовательность

(an)=a1,a2,...,an,…

Составим из нее новую последовательность (Sn) следующим образом:

S1=а1,

S2=a1+a2

S3=a1+a2+a3,,

Sn=a1+a2+…+аn=[pic 201]

Sn+1=Sn+an+1

Выражение

a1+a2+…+аn+an+1+… (1)

обозначается символом [pic 202]и называется числовым рядом.

Числа а1, а2,…,аn,… называются членами ряда, а число аn- n – м членом или общим членом ряда.

Простейшие свойства числовых рядов

1о. Сходимость ряда не нарушится, если произвольным образом изменить (переставить, добавить или отбросить) конечное число членов ряда.

2о. Сходящийся ряд можно почленно умножить на любой множитель [pic 203], т.е. если ряд [pic 204]имеет сумму S, то ряд

[pic 205]

3о. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т.е. если даны ряды

[pic 206]

то ряд 

[pic 207]

34.Необходимые условия сходимости ряда.

Теорема: Пусть числовой ряд 

u1+u2+...+un+... , (1)

сходится, а S - его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член un стремится к нулю
Доказательство. Из условия теоремы имеем

[pic 208]       [pic 209]

Так как

Sn - Sn-1 = un

то

[pic 210]

  Следует отметить, что этот признак является лишь необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда, так как можно указать ряд, для которого выполняется равенство

[pic 211],

а он, однако не является сходящимся.
  Так гармонический ряд

[pic 212],

для которого

[pic 213],

расходится.
  Но согласно доказанному необходимому признаку сходимости ряда, если

[pic 214],

то ряд (1) расходится.
  В самом деле, если бы он сходился, то

[pic 215]

равнялся бы нулю.
  Таким образом, доказанная нами теорема иногда позволяет, не вычисляя суммы Sn, сделать заключение о расходимости того или иного ряда. Например, ряд

[pic 216],

расходится, так как

[pic 217],

35.Сходимость гармонического ряда.

-------(нету)

36.Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.

Теорема 1. (Признак сравнения).

Пусть для членов рядов

[pic 218]  и [pic 219]

имеет место неравенство

[pic 220]  (8)

n=1,2,…

Тогда:

1. Если сходится ряд [pic 221], то сходится и ряд [pic 222]

2. Если расходится ряд [pic 223], то расходится и ряд [pic 224].

  Этот признак утверждает, что при выполнении условия (8) из сходимости ряда с большими членами вытекает сходимость ряда с меньшими членами, а из расходимости ряда с меньшими членами вытекает расходимость ряда с большими членами.

Теорема 2. (Предельный признак сравнения).

Пусть члены рядов [pic 225]и  [pic 226]  положительны и

[pic 227]

Тогда ряды [pic 228]и [pic 229] одновременно сходятся или одновременно расходятся.

37.Признак сравнения.

Пусть даны два ряда с полжительными членами. [pic 230] и [pic 231] Причем, каждый член ряда [pic 232] не превосходит соответствующего члена ряда [pic 233], то есть [pic 234] для всех [pic 235]. Тогда  

• если сходится ряд [pic 236] с большими членами, то сходится и ряд [pic 237] с меньшими членами; 
• если расходится ряд [pic 238] с меньшими членами, то расходится и ряд [pic 239] с большими членами. 

Теорема остается верна, если соотношения между членами рядов выполняются не для всех [pic 240], а лишь начиная с некоторого номера [pic 241].  

При использовании признаков сравнений чаще всего исследуемый ряд сравнивают с бесконечной геметрической пргрессией [pic 242], которая сходится при [pic 243] и расходится при [pic 244], или с рядом [pic 245], который сходится при [pic 246] и расходится при [pic 247].  

38.Признак Даламбера.

Пусть l - предел отношения последующего члена un+1 ряда (1) к предидущему un при n→∞ , т.е.

[pic 248]

Тогда,
  если l < 1, то ряд l сходится,
  если l > 1, то ряд l расходится,
  Если же l = 1, то вопрос о сходимости ряда (1) остается открытым. 
  Доказательство. Согласно определению предела переменной величины, равенство

[pic 249]

означает, что, начиная с некоторого номера n, выполняются неравенства

[pic 250]

где e   - наперед заданное сколь угодно малое положительное число.
  Рассмотрим три случая:
  а) пусть l < 1 . Тогда всегда можно взять e   настолько малым, чтобы выполнялось неравенство

l + ε   < 1

и, начиная с некоторого n , неравенство

[pic 251]

где q = l + ε , в силу чего (см. теорему 1) ряд (1) будет сходящимся;
  б) пусть l > 1 . Выбираем e   так, чтобы

ε  = l - 1 > 0

  Тогда l - ε  = 1 и

[pic 252]

т.е. ряд (1) расходится (см. теорему 1)
  в) пусть l = 1 . Тогда ряд (1) может быть как сходящимся, так и расходящимся.
  В самом деле, для гармонического ряда

[pic 253]

который расходится, имеем,

[pic 254]

  С другой стороны, ряд

[pic 255]

сходится, а для него также

[pic 256]

потому что

[pic 257]

  Таким образом, доказано, что если

то ряд (1) сходится; если l > 1 , то ряд (1) расходится.

39.Интегральный признак Коши.

Пусть [pic 258]- непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при [pic 259]. Тогда ряд [pic 260]и интеграл [pic 261]либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство. Ввиду монотонности при всех [pic 262]выполняются неравенства [pic 263]. Интегрируя, получаем [pic 264]. Тогда [pic 265], или [pic 266]. Поэтому если [pic 267]сходится, то [pic 268]. Тогда [pic 269][pic 270]и [pic 271], [pic 272]ряд сходится.

Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда [pic 273]. Взяв произвольное [pic 274]выберем [pic 275]так, чтобы [pic 276]. Тогда [pic 277]. Значит, [pic 278]сходится.

40.Знакопеременные ряды.

Числовой ряд, члены которого имеют различные знаки, называется знакопеременным рядом.

Пусть дан знакопеременный ряд

[pic 279].                        (1)

Рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов:

[pic 280].                (2)

Определение 1. Ряд (1) называется условно сходящимся, если сам ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин, расходится.

Определение 2. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сам ряд (1) сходится и ряд из абсолютных величин тоже сходится.

Теорема. Если ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда, сходится, то и сам ряд сходится (из абсолютной сходимости следует условная).

41.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Признак Лейбница.

Пусть дан знакочередующийся ряд

[pic 281](монотонно стремится к 0), тогда А сходится.

Доказательство.

[pic 282]

Т.к. [pic 283]

[pic 284].

[pic 285],   [pic 286], то есть последовательность частичных сумм [pic 287] убывает, а [pic 288] возрастает.

[pic 289]Каждая из последовательностей [pic 290] ограничена и [pic 291].

Следовательно, [pic 292].

[pic 293]            [pic 294]

Заметим, что:

[pic 295].

[pic 296]

42.Степенные ряды. Признак Абеля.

Признак Абеля.

Пусть дан ряд:

[pic 297]:                [pic 298][pic 299]

Доказательство.

[pic 300]                Доказано.

43.Теорема об интервале сходимости степенного ряда.

44.Теорема о радиусе сходимости степенного ряда.