Шпаргалка по "Высшей математике"

Билет №1 Интеграл Римана (Определённый интеграл).

К понятию определённого интеграла приводят следующие задачи:

1. нахождение длины пройденного пути;
2. нахождение массы неоднородного стержня;
3. нахождение площади криволинейной трапеции и др.

Подробнее рассмотрим задачу о нахождении площади криволинейной трапеции:

[pic 1]

 – неопределённая функция, находящаяся над осью . Отрезок  делим произвольным образом на  частей точками , …, , так что .[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

Из каждой точки  восстанавливаем перпендикуляры до пересечения с кривой , тем самым деля криволинейную трапецию на  полосок. В каждой из частей  мы произвольным образом выбираем некоторую точку . Вычислим приблизительно площадь одной такой полоски: , . Чем меньше деление отрезка  на приозвольные  частей, тем точнее будет площадь данной фигуры при условии, что наибольшая из длин отрезков , то есть[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

[pic 19]

Определение. Величину  называют интегральной суммой для функции .[pic 20][pic 21]

Определение. Площадью называют предел интегральной функции, который обладает следующим свойством: как бы ни было задано , можно найти такую  при условии, что , что все интегральные суммы не зависят ни от способа деления отрезка  на части, ни от выбора точек . Этот предел носит называние определённого интеграла и обозначается[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

[pic 27]

Где  – нижний и верхний предел интегрирования.[pic 28]

Билет № 2 Верхние и нижние суммы.

При стремящихся к нулю длин отрезков деления каждая из слагаемых интегральной суммы также стремится к нулю. При этом число слагаемых неограниченно возрастает. При этих условиях интегральная сумма может стремиться к какому-то пределу, но также может и не иметь этого предела. Для этого вводят понятия верхний и нижний суммы Дарбу. В силу ограниченности функции на данном отрезке она будет ограничена на каждом из отрезков деления отрезка , следовательно, можно говорить о верхней и нижней гранях функции  на этих отрезках, то есть[pic 29][pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

где  изменяется о т 1 до .[pic 35][pic 36]

Объедененно эти суммы называют суммами Дарбу. (≤0≤) При геометрическом истолковании нижняя и верхняя суммы выражают площади двух ступенчатых фигур: одна из них содержится в криволинейной трапеции, а другая – содержит криволинейную трапецию.[pic 37][pic 38]

Свойства нижней и верхней сумм (сумм Дарбу).

1. При добавлении новых точек деления нижние суммы возрастают, а верхние – убывают.[pic 39]

Доказательство. Ограничимся доказательством добавления одной точки , . В результате получаются два отрезка:  и . Если обозначить нижние и верхние суммы (грани) функции  на отрезке и на его частях, то получим следующие неравенства:[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

Так как остальные слагаемые в этих суммах одинаковые, то из этих неравенств следует, что , .[pic 48][pic 49]

1. Любая нижняя сумма не превосходит любую верхнюю.

Пусть и – такие способы деления отрезка [а,b] на части, которые не совпадают друг с другом (некоторые точки могут совпадать).[pic 50][pic 51]

Составим третий способ деления отрезка  на части путем объединения  и . Тогда   содержит точки деления принадлежащие    и , и тогда на основании свойства 1 при добавлении новых точек можем записать что .[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58]