Фурье қатарлары

Фурье қатарлары

Келесі түрдегі қатар

[pic 1]                                     

мұндағы коэффициенттер [pic 2],  [pic 3]мына формулалар бойынша анықталады:

[pic 4] ,

[pic 5] ,

[pic 6] функциялардың Фурье қатары деп аталады. Әрқашанда  [pic 7] екенін атап өтеміз.

Егер осы кесіндіні k интервалдардың  арқылы санына, оның әрбіріндегі функция бірсарынды бөліктеуге болатындай етіп қойылған болса, [pic 9] функциясы кесіндіде [a;b]құрама- бірсарынды деп аталады.[pic 8]

1-теорема.Егер  [pic 10] функциясы периодты (период [pic 11] ), кесіндіде [pic 12] құрама-бірсарынды және шектелген болса, онда оның Фурье қатары [pic 13]кез келген нүктеде жинақты және оның қосындысы

[pic 14].

Теоремадан жасалатын тұжырым:[pic 15] функциялардың үздіксіздік нүктелерінде  S(x)=[pic 16] және  S(x) қосындысы бірінші қатардың үзіліс нүктелеріндегі [pic 17] функциялардың оң және сол жақтарындағы орта арифметикалық шектерге тең.

1-мысал. Фурье қатарында периодтық функцияны ([pic 18] периодпен) жіктеу

[pic 19]

Өйткені берілген функция құрама-бірсарынды және шектелген, сондықтан Фурье қатарына жіктеледі. Одан қатар коэффициенттерін табамыз:

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23],

[pic 24]

[pic 25]

Табылған коэффициенттерді қатарға (12.25) ауыстырып қойып, мынаны аламыз:

[pic 26]

Бүл қатар бүкіл  [pic 27] кезінде периоды [pic 28]берілген периодты функцияларға жинақты болады.

Егер [pic 29]функциясы 2l периодқа ие болса, онда оның Фурье қатары келесі түрде жазылады

[pic 30],

мұндағы

[pic 31],

[pic 32].

2-теорема.Егер периоды [pic 33] периодты функция құрама-бірсарынды және кесіндіде [pic 34] шектелген, сондықтан оның Фурье қатары (12.28)  кез келген [pic 35]үшін қосындыға жинақты болады

[pic 36]

(1-теоремамен салыстырыңыз).

2-мысал. Периоды 4 периодты функциялардың Фурье қатарындағы жіктеуді табу:

[pic 37][pic 38]

[pic 39]

[pic 40],

[pic 41]

[pic 42],

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45].

Табылған коэффициенттерді қатарға (12.28) ауыстырып қойып, мынаны аламыз:

[pic 46].

Егер периодты [pic 47]функциясы жұп болса, онда ол косинустар бойынша ғана Фурье қатарына жіктеледі,бұл ретте

[pic 48];

Егер периодты [pic 49]функциясы тақ болса, онда ол синустар бойынша ғана Фурье қатарға жіктеледі және

[pic 50].

Өйткені периоды [pic 51] кез келген периодтық [pic 52] функциялар мен кез келген  үшін келесі теңдік дұрыс болады[pic 53]

[pic 54],

Онда Фурье қатарының коэффициенттерін келесі формулалар бойыншаесептеуге болады:

[pic 55],    [pic 56],

Мұндағы n=0,1,2,…

[pic 57] функциясы құрама-бірсарынды және кесіндіде  шектелген деп алайық. Осы функцияны Фурье қатарына жіктеу үшін, ол интервалда  шектелген және құрама-бірсарынды болып қалатындай етіп, оны кез келген интервалда  жалғастырамыз. Табылған функцияны, кесіндідегі  берілген функцияларға жинақты болатын, Фурье қатарына жіктейміз. Егер берілген функцияны, жұп түрде интервалда  жалғастыратын болсақ, онда оның жіктеуін косинустар бойынша ғана аламыз; егер оны тақ түрде жалғастыратын болсақ, онда синустар бойынша ғана жіктеуін аламыз.[pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62]