Сигналдардың Фурье-талдауы

Зертханалық жұмыс №6 СИГНАЛДЫҢ ФУРЬЕ-ТАЛДАУЫ

Жұмыстың мақсаты: сигналдардың Фурье-талдауы негіздерін зерттеу, сигналдың Фурье қатарына жіктелу әдісін ұғыну және Matlab ортасында компьютерлік модельдеу кӛмегімен олардың спектрлік талдауын жасау.

Қысқаша теориялық кіріспе

Сигналдың Фурье қатарына жіктеу

Фурье түрлендіруі сигналдың спектрлік талдаудың құралы болып табылады.

Периодты  сигнал        s (t ) = s (t + nT )        арқылы анықталады. Кез келген

периодты синусоидалды емес сигналды синусоидалды компоненттердің бірнеше санына жіктеуге болады, оның ішінде негізгі құраушының жиілігі f шығыс сигналы секілді болады, сонымен қатар жиіліктері 2w, 3w, 4w және т.б. болатын гармониктердің бірнешеуі. Тікбұрышты сигнал ӛте жоғары реттіліктегі гармониктерден тұрады, тік аймақтар мен сынулар шексіз қатардағы гармониктердің барын кӛрсетеді. Шындығында, тікбұрышты сигналдың жүзеге асуы жақсы болып шығады, әрине, егер ол оныншы гармониктегі жиілікке дейін кӛрсетілген болса.

Сигналдардың Фурье қатарына жіктелуі кезінде олар гармоникалық функциялардың қосындысы немесе арифметикалық прогрессияны құратын жиіліктері бар комплексті экспонентті кӛрсетеді. Осыны жүзеге асыру үшін, ұзақтығы бір период болатын сигнал бӛлігін Дирехле шарттарын қанағаттандыруы қажет:

1. Екінші ретті үзілулер болмау қажет (функция бӛлігінің шексіздікке кетуі);
2. Бірінші ретті үзілістер (секіру) саны шексіз болуы керек;
3. Экстремумдар саны шексіз болуы қажет (мысал ретінде, сонғы интервалда шексіз экстремумдар санына ие болатын функцияның нӛлдік аймақта sin(1/x) әкеп соқтыруы мүмкін).

Базисті функциялардың нақты формаларына қарағанда Фурье қатарының жазылу формалары бірнеше түрге жіктеледі.

S(t) сигналы уақытқа тәуелсіз құраушыдан және гармоникалық тербелістердің шексіз құрамынан тұрады, олардың реттілігі негізгі жиілікке еселі (ӛзінің жиілігінен тӛменірек болатын бірінші гармоникке)

болатын wn = nw (n = 1, 2,...) жиіліктері бар гармоник деп атайды.

Қатар коэффициенттері мына қатынас арқылы анықталады:

2 T[pic 1]

a0  =        s  t  dt,[pic 2]

0

2 T        ⎛

[pic 3]

n ⎞        ,        (6.1)

[pic 4]

an  = T ∫ s (t )cos⎜ 2        ⎟ dt

0        ⎝        T ⎠

2 T        ⎛        n ⎞

bn = T ∫ s (t )sin ⎜ 2        ⎟dt.[pic 5][pic 6]

0        ⎝        T ⎠[pic 7]

Реттіліктің негізгі жиілігі: Фурье қатары:

w = 2 T . Онда периодты сигнал үшін

s (t ) = a0  + ∑(a  cos(nt ) + b

[pic 8]

sin (nt )).

(6.2)

2        n        n

Осыдан        кӛретініміз,

s (t )

функциясы        уақытқа        тәуелсіз        тұрақты

құраушы        мен        гармоникалық        тербелістердің        шексіз құрамнан тұрады,

реттілігі негізгі жиілікке еселі  n  = n(n = 1, 2,...) жиілігі бар гармоник.

1 T        a 2        ∞[pic 9]

s (t ) dt = 0 + ∑⎡a2 + b2 ⎤.

[pic 10]

теңдігі орын алады. Фурье қатарының

        [pic 11][pic 12]

0        n=1

n        n ⎦

коэффициенттері

an   = An  cosn ,

bn   = An  sinn

түрінде жазылуы мүмкін,

мұндағы        A =

,        tg = bn