Жылу өткізгіштіктің теңдеуін Фурье түрлендіруімен шешу

Мазмұны

Кіріспе

ХІХ ғасыр басында француз математигі Жан Батист Фурье синус пен косинустардың қосындысынан құралатын Т периодты әрбір периодтық g(t) функциясы бір қатарда болуы мүмкін (мүмкін, шексіздік күйінде) екнін дәлелдеді:

Фурьенің алғашқы еңбектері алгебраға жатады. 1796 дәрістерінде ол осы шекаралар арасында жатқан алгебралық теңдеудің нақты тамырларының саны туралы теореманы баяндады (опубл. Алгебралық теңдеудің нақты түбірлерінің саны туралы толық шешімді 1829 ж.Ш. Ф. Штурм алды. Фурье 1818 жылы 1768 француз математигі Ж. Р. Мурайль алған ұқсас нәтижелер туралы білмей, Ньютон әзірлеген теңдеулерді сандық шешу әдісінің қолдану шарттары туралы мәселені зерттеді. Фурье жұмысының нәтижесі теңдеулерді шешудің сандық әдістері бойынша 1831-да өлгеннен кейін шығарылған "белгілі бір теңдеулерді талдау" болып табылады.

Фурье сабақтарының негізгі саласы математикалық физика болды. 1807 және 1811 ол қатты денеде жылудың таралуының теориясы бойынша өзінің алғашқы жаңалықтарын Париж ғылым академиясын ұсынды, ал 1822-да математиканың кейінгі тарихында үлкен рөл атқарған жылудың аналитикалық теориясы белгілі жұмысын жариялады. Бұл-жылу өткізгіштіктің математикалық теориясы. Әдістің ортақтығына байланысты бұл кітап Математикалық физиканың барлық заманауи әдістерінің көзі болды. Бұл жұмыста Фурье жылуөткізгіштіктің дифференциалды теңдеуін шығарды және бұрын белгіленген идеяларды дамытады. Бернулли, сол немесе басқа берілген шекаралық жағдайларда жылуөткізгіштік теңдеуін шешу үшін, ол бірнеше жеке жағдайларға (куб, цилиндр және т.б.) қолданған айнымалыларды бөлу әдісін (Фурье әдісі) әзірледі. Осы әдістің негізінде Фурье тригонометриялық қатарларымен функцияларды ұсыну жатыр.

Фурье қатары енді шекаралық есептерді шешуде жеке туынды теңдеулер теориясында жақсы әзірленген құрал болды.

1 Фурье түрлендіруі

Периоды [pic 1]-ге тең [pic 2] функцияны гармоникалық тербеліс арқылы өрнектеу керек болса, біз Фурье қатарын пайдаланамыз:

                                              [pic 3]                                                   (1)

Периоды [pic 4]-ге тең функция үшін Фурье қатары мына түрде жазылады:

                                              [pic 5]                                                     (2)

Соңғы (2) теңдікті [pic 6] функцияға көбейтіп, [pic 7]-ден [pic 8]-ге дейін [pic 9] бойынша интегралдайық. Сонда [pic 10] Фурье коэффициенттері мына формуладан анықталады:

                                        [pic 11]                                          (3)

Енді (2) мен (3) теңдіктерден мына теңдікті аламыз:

                                        [pic 12]                                          (4)

Егер (4) интегралдан [pic 13]-да шекке көшуге болатын  болса, онда

                                    [pic 14]                                    (5)