Решение задач дифференциальных уравнений

Оглавление

Реферат        2

Список заданий        3

Задание 1.21        5

Задача 2.24.        11

Задача 3.1        15

Задание 4.2        17

Задание 5. 24        19

Задача 6.1        23

Задача 7.30        24

Приложение        28

Список литературы        32

Реферат

В данной курсовой работе рассматриваются основные аспекты качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений на примере решения задач, посвященных нахождению особых точек и исследованию их характера для нелинейной автономной системы 2-го порядка; нахождению первого интеграла и построению фазового портрета нелинейного автономного уравнения 2-го порядка; исследованию устойчивости и асимптотической устойчивости нулевого решения линейного однородного уравнения 4-го порядка с постоянными однородного уравнения 4-го порядка с постоянными коэффициентами; построению функции Ляпунова для нелинейной автономной системы 2-го порядка; исследованию асимптотической устойчивости нулевого решения нелинейной автономной системы 2-го порядка с помощью линеаризации правых частей (первого приближения); исследованию диссипативности нелинейной автономной системы 2-го порядка и существовании у нее циклов; приближенному построению с помощью метода малого параметра периодического решения нелинейного неавтономного уравнения 2-го порядка. Особое внимание уделено построению фазовых траекторий в окрестностях особых точек и фазового портрета.

Объем курсовой работы составляет  32 стр.  

Список заданий

Задание 1.21

Найти особые точки следующих уравнений или систем. Определить их тип. Построить схематически фазовые траектории в окрестности каждой особой точки.

[pic 1]

Задание 2.24

Найдя первый интеграл, изобразить фазовый портрет уравнения на плоскости ().[pic 2]

[pic 3]

Задание 3.1

Найти общее решение уравнения.

[pic 4]

Задание 4.2

Исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева

[pic 5]

Задание 5.24

С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению найти значения параметра [pic 6], при котором асимптотически устойчиво нулевое решение системы

[pic 7]

Задание 6.6

Используя теорему Пункаре-Бендиксона, доказать существование цикла у уравнения или системы

[pic 8]

Задание 7.30

Методом Пуанкаре найти приближенно периодические решения данного уравнения:

[pic 9]

Задание 1.21

Найти особые точки следующих уравнений или систем. Определить их тип. Построить схематически фазовые траектории в окрестности каждой особой точки.

[pic 10]

Решение

Для нахождения особых точек решим систему уравнений:

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

То есть особыми точками являются точки:

.[pic 14]

Составим матрицу Якоби:

[pic 15]

Получим значение матрицы Якоби в особых точках:

[pic 16],   [pic 17],    [pic 18].

1)Для матрицы Якоби   в особой точке   найдем собственные значения:[pic 19][pic 20]

;      [pic 21][pic 22]

Так как  собственные значения матрицы   - разного знака, то особая точка - точка типа “седло”.  Для построения фазового портрета в окрестности точки  найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям   матрицы. Имеем:[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

      [pic 29][pic 30]

     [pic 31][pic 32]

Согласно теореме 1.1[1], определяющей поведение траекторий нелинейной системы вблизи невырожденного положения равновесия, в зависимости от типа точки покоя системы существуют только две траектории системы, которые при  асимптотически приближается к . Эти две траектории образуют непрерывную дифференцируемую кривую, касающуюся прямой P(прямая, проходящая в направлении собственного вектора ) в этой точке. Точно также существуют ровно две траектории, которые при  асимптотически приближаются к точке , касаясь при этом прямой Q(прямая, проходящая в направлении собственного вектора )[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]