Предел числовой последовательности на факультативе по высшей математике

Медведева В.Ю., студентка  I курса

(Сетько Е.А., кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры ТФФАиПМ, ГрГУ )                                                

     УО «Гродненский государственный университет имени Я. Купалы»

Предел числовой последовательности на факультативе по высшей математике

Предел числовой последовательности – первая тема раздела «Предел функции одной переменной» как  в курсе высшей математики, так и в курсе математического анализа. С понятием последовательность школьники знакомятся на примере арифметической и геометрической прогрессий. Из истории математики интерес представляет также знаменитая последовательность Фибоначчи  определяемая следующим образом:[pic 1]

[pic 2]

Здесь первые два члена известны, а каждый последующий вычисляется как сумма двух предыдущих. Это позволяет без труда вычислить член последовательности Фибоначчи с любым наперёд заданным номером: [1].[pic 3]

С понятием предельного перехода связаны многие известные софизмы и парадоксы. Исторически известны две сходящиеся последовательности, пределы которых имеют множество приложений: число e и золотое сечение.

Знакомясь с теорией пределов, первокурснику трудно привыкнуть к новой форме записи через кванторы теоретического материала и отличной от школьного курса логике решения примеров. На практических занятиях преподаватель отрабатывает в основном типичные методы решения стандартных задач.

Но существует большое количество интересных и боле сложных заданий по теме предел числовой последовательности,  которые можно решать на факультативе. Мне была поставлена задача изучить примеры олимпиадного характера. В своей статье я выделила четыре группы задач, которым, на мой взгляд, следует уделять особое внимание.

І. Много примеров, которые предлагают на студенческих олимпиадах, связаны с применением теоремы Вейерштрасса[2].

Пример 1: Доказать сходимость и найти предел последовательности [pic 4], где [pic 5], [pic 6]

Решение: Исследуем последовательность на монотонность и ограниченность. Поскольку [pic 7]то есть [pic 8], то последовательность [pic 9]возрастает.

Докажем, что [pic 10] ограничена сверху, например числом [pic 11]Для первого элемента это верно: [pic 12]

Для [pic 13] имеет место представление [pic 14] и, если предположить, что [pic 15] то, согласно методу математической индукции, [pic 16] что и доказывает ограниченность всех элементов последовательности.

Как известно, возрастающая и ограниченная последовательность сходится. Обозначим её предел через [pic 17]. Факт существования предела последовательности [pic 18] делает возможным предельный переход при  в рекуррентном равенстве [pic 20] В результате получаем и решаем уравнение относительно a: [pic 19]

[pic 21]      [pic 23][pic 22]

Так как отрицательное значение не подходит, то .[pic 24]

ІІ. Пределы с бесконечным числом слагаемых.

Этот вид примеров всегда вызывает затруднения с решение у студентов. Я попробую более подробно его объяснить:

Пример 2: Найти предел последовательности:

                      [pic 25]

Решение: Общий член этого ряда [pic 26]можно

представить в виде [pic 27]. За счёт представления

каждого слагаемого в виде разности дробей имеем: [pic 28]

Несложно увидеть, что многие дроби повторяются с противоположным знаком через три слагаемых. Например, [pic 29]…