Контрольная работа по "Высшая математика"

        Задание №1-В16.

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Пусть а = А1А2, b = А1А3, с = А1А4. Найти:

1) (a + 2b)∙(a – 2b);

2) (2a – b)×c;

3) площадь грани А1А2А4;

4) объём пирамиды;

5) уравнение прямой А1М, где М – середина ребра А3А4;

6) уравнение плоскости А2А3А4;

7) уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А3 к грани А1А2А4.

А1(0; 2; -1),  А2(-1; 2; 3),  А3(-2; 3; 7),  А4(0; 4; 1).

        Решение.

        Найдём координаты векторов [pic 1]:

[pic 2];

[pic 3];

[pic 4].

        1) Найдём координаты векторов [pic 5] и [pic 6]:

[pic 7];

[pic 8].

        Найдём скалярное произведение векторов [pic 9] и [pic 10]:

[pic 11].

2) Найдём координаты вектора [pic 12]:

[pic 13].

        Найдём векторное произведение векторов [pic 14] и [pic 15]:

[pic 16][pic 17].

3) Найдём векторное произведение векторов [pic 18] и [pic 19]:

[pic 20][pic 21].

Тогда площадь грани А1А2А4:

[pic 22]

[pic 23] ед2.

4) Найдём смешанное произведение векторов [pic 24], [pic 25] и [pic 26]:

[pic 27].

        Найдём объём пирамиды:

[pic 28] ед3.

5) Найдём координаты точки М – середины ребра А3А4:

[pic 29],   [pic 30],   [pic 31];

М(-1; 3,5; 4).

Составим канонические уравнения прямой А1М, проходящей через точки А1 и М:

[pic 32][pic 33][pic 34];

[pic 35].

6) Составим уравнение плоскости А2А3А4, проходящей через точки А2, А3 и А4:

[pic 36];

[pic 37];

[pic 38];

[pic 39];

[pic 40];

[pic 41];

[pic 42];

[pic 43];

[pic 44] − общее уравнение плоскости А2А3А4.

7) Направляющим вектором перпендикуляра к грани А1А2А4 является нормальный вектор грани А1А2А4:

[pic 45].

        Тогда канонические уравнения перпендикуляра, опущенного из вершины А3 к грани А1А2А4:

[pic 46][pic 47][pic 48];

[pic 49].

        Задание №2-В15.

        Дана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему:

1) с помощью формул Крамера;

2) матричным методом;

3) методом Гаусса.

[pic 50].

        Решение.

        1) Метод Крамера.

Вычислим главный определитель системы:

[pic 51]

        Поскольку главный определитель системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение.

        Вычислим дополнительные определители [pic 52] (здесь [pic 53] показывает номер столбца в главном определителе, который заменяется на столбец свободных членов):