Неопределенный интеграл

Задание 1

Найдите АВ, АС, АТ, [pic 1], αA

[pic 2] 

Решение.

[pic 3]

Задание 2.

Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырьё трёх типов. Необходимые характеристики производства указаны в таблице:

Требуется определить объём выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья. (При решении СЛУ использовать метод Крамера или Гаусса)

Решение.

Пусть необходимо выпустить х1 единиц продукции 1 вида, х2 единиц продукции 2 вида, х3 единиц продукции 3 вида. Для этого потребуется

3х1 + 4 х2 + х3 сырья 1 вида

х1 + 2 х2 +3 х3 сырья 2 вида

5х1 + 2 х2 +2 х3 сырья 3 вида

Учитывая, что сырьё каждого вида находится на складе в количестве 580, 440 и 760 вес.ед. соответственно, составим систему:

[pic 4]

Решаем которую методом Гаусса:

[pic 5] 

Из третьей строки получаем: х3 = 80

Из второй строки получаем: х2 + 4 х3 = 370

х2 = 370 - 4 х3 = 370 – 4*80 = 370 - 320 = 50

Из первой строки получаем: х1 + 2 х2 +3 х3 = 440

х1 = 440 - 2 х2 -3 х3 = 440 – 2*50 – 3*80 = 440 – 100 – 240 = 100

Итак, предприятию необходимо выпустить 100 ед. продукции 1 вида, 50 ед. продукции 2 вида, 80 ед. продукции 3 вида. На выпуск уйдет 580 вес.ед. сырья 1 вида, 440 вес.ед. сырья 2 вида, 760 вес.ед. сырья 3 вида.

Задание 3.

Вычислить неопределённые интегралы

[pic 6] 

[pic 7] 

Интегрировать необходимо по формуле интегрирования по частям

[pic 8]

Приняв за [pic 9], тогда [pic 10] 

[pic 11]

Применим формулу интегрирования по частям ещё раз, положив [pic 12] тогда [pic 13]

[pic 14] Итак, [pic 15]

[pic 16] 

Задание 4.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y = x2 – 5x + 6, y = 0

Решение.

Выполним чертёж фигуры.

[pic 17]

Необходимо найти площадь закрашенной области, заключённой между осью ОХ (у = 0) и параболой y = x2 – 5x + 6. Найдём точки пересечения графиков:

x2 – 5x + 6 = 0

D = 25 – 4*6 = 1

x1 = (5 - 1)/2 = 2

x2 = (5 + 1)/2 = 3

Площадь находим по формуле:

[pic 18]

Где х = а и х = b — прямые, ограничивающие фигуру слева и справа

y1 и y2 — функции, графики которых ограничивают фигуру снизу и сверху соответственно. Итак,

[pic 19] 

Площадь фигуры равна [pic 20] 

Задание 5.

Решить линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами y” – 8y’ + 7y = 14

Решение.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Соответствующее ему однородное дифференциальное уравнение имеет вид: