Неопределенный интеграл

Тема 8. Неопределенный интеграл

Вычислить неопределенный интеграл.

1. а) [pic 1];

Применим формулу:[pic 2],  

Получаем:        

[pic 3]

б) [pic 4];

Формула интегрирования по частям:

[pic 5]

Пусть

U=x·e-x+2·ex-2

dV=e-x+2 dx

Тогда:

dU=e-x+2·ex-2 dx

V=-e-x+2

Поэтому:

Находим интеграл

[pic 6]
Ответ:
[pic 7]

в)[pic 8];

[pic 9]
Поскольку нечётная степень при cos(x), то применяем подстановку cos2x = 1-sin2x, t=sin(x):

[pic 10] = [pic 11] = [pic 12] = [pic 13]

г) [pic 14]

Используем метод разложения на простейшие. Разложим функцию на простейшие слагаемые:

[pic 15]

Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях x, стоящие слева и справа должны совпадать:

x = A(x+9) + B(x-1)

x: A + B = 1

1: 9A -B = 0

Решая ее, находим:

A = 1/10 ;B = 9/10;

[pic 16]
Вычисляем табличный интеграл:

[pic 17]
Вычисляем табличный интеграл:

[pic 18]

Ответ:

[pic 19]

9.1. Вычислить определенный интеграл.

1 [pic 20];

Формула интегрирования по частям:

[pic 21]

Подставим:

U=ln(x)

dV=(x+1) dx

Тогда:

[pic 22]

[pic 23]

Поэтому:

[pic 24]

Находим интеграл

[pic 25]

Ответ:

[pic 26]

б)[pic 27].

[pic 28]

Делаем замену переменных:

x=3·cos(t), dx=-3·sin(t)dt

[pic 29]

Ответ:

[pic 30]

9.2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж.

1.

[pic 31]

[pic 32]

Тема 10. Несобственный интеграл

Вычислить интеграл или установить его расходимость.

1. а)[pic 33]

Выражение 2*x подведем под знак дифференциала, т.е.:

2·x = d(x2), t=x2

Тогда исходный интеграл можно записать так:

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

Вычисляем табличный интеграл:

[pic 37]

Ответ:

[pic 38]

Чтобы записать окончательный ответ, осталось вместо x подставить x^2.

[pic 39]

Вычислим определенный интеграл:

[pic 40]

F(+∞) = ∞·

F(0) = 0

Поскольку один из пределов равен ∞, то интеграл расходится.

б)[pic 41]

Делаем замену переменных:

2-x=t2

Следовательно:

x=2-t2

dx=(-2·t)dt

[pic 42]

Упростим дробное выражение:

[pic 43]

Подставляя вместо t=sqrt(2-x), получаем:

[pic 44]

Тема 11. Ряды

Числовые ряды. Исследовать ряд на сходимость.

1. [pic 45]

Признак Даламбера.

[pic 46]
при q < 1 - ряд сходится, q > 1 - ряд расходится, q = 1 - получаем неопределенность (дополнительные исследования).