Неопределенный интеграл
Автор: ebamarama333 • Апрель 16, 2018 • Контрольная работа • 1,121 Слов (5 Страниц) • 398 Просмотры
Тема 9. Неопределенный интеграл
Вычислить неопределенный интеграл.
5. а) [pic 1]; б) [pic 2]; в) [pic 3]; г) [pic 4].
Решение.
а) [pic 5].
Применим способ внесения под дифференциал: [pic 6].
[pic 7].
б) [pic 8].
Применим формулу интегрирования по частям: [pic 9].
[pic 10].
в) [pic 11].
Преобразуем подынтегральную функцию [pic 12][pic 13]
Применяя метод внесения под дифференциал, находим [pic 14], тогда
[pic 15][pic 16].
г)[pic 17].
Разложим подынтегральную функцию [pic 18] в сумму простейших дробей, применяя метод неопределенных коэффициентов:
[pic 19].
[pic 20],
[pic 21],[pic 22] .
[pic 23].
[pic 24].
Решим систему: [pic 25]
[pic 26].
[pic 27] Ответ: а) [pic 28], б) [pic 29], в) [pic 30],
г) [pic 31].
Тема 10. Определенный интеграл
Вычислить определенный интеграл.
5. а) [pic 32]; б) [pic 33].
Решение.
Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
[pic 34], где [pic 35] - первообразная [pic 36].
а) [pic 37];
Применим формул интегрирования по частям [pic 38].
[pic 39]
[pic 40].
б) [pic 41].
Выполним подстановку [pic 42], [pic 43].
Пересчитаем границы интегрирования: [pic 44], [pic 45].
[pic 46]
[pic 47] Ответ: а) [pic 48], б) [pic 49].
10.2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж.
5. [pic 50]
Решение.
Построим данные линии.
[pic 51] - ветвь параболы,
[pic 52] - уравнение оси [pic 53].
[pic 54]- вертикальные прямые.
Найдем их точки пересечения:
[pic 55], [pic 56], [pic 57]
[pic 58].
[pic 59]
Рис.1.
Полученная фигура ограничена сверху графиком функции [pic 60], а снизу [pic 61], причем [pic 62], тогда площадь фигуры найдем при помощи определенного интеграла:
[pic 63]квадратных единиц.
Ответ: [pic 64] квадратных единиц, рис.1.
Тема 11. Несобственный интеграл
Вычислить интеграл или установить его расходимость.
5. а) [pic 65]; б) [pic 66].
Решение.
а) Для исследования сходимости несобственных интегралов данного вида применяется формула[pic 67].
[pic 68] интеграл сходится.
б) [pic 69].
Подынтегральная функция [pic 70] терпит бесконечный разрыв в точке [pic 71], которая является нижним пределом интегрирования.
Тогда применим обобщенную формулу Ньютона-Лейбница: [pic 72].
[pic 73][pic 74] интеграл сходится.
Ответ: а) интеграл сходится и равен [pic 75], б) интеграл сходится и равен 4.
Тема 12. Ряды
12.1. Числовые ряды. Исследовать ряд на сходимость.
5. [pic 76]
Решение.
Применим к данному ряду признак Даламбера: пусть дан ряд [pic 77] и существует предел [pic 78], тогда если l>1, то ряд расходится, если l<1, то ряд сходится, если l=1, то ряд может сходиться и расходиться, т.е. требуется применить другой признак сходимости. В данном случае
[pic 79], [pic 80], тогда предел отношения[pic 81]
...