Неопределенный интеграл

Контрольная работа 2 (2 семестр)

Тема 8. Неопределенный интеграл

Вычислить неопределенный интеграл.

1. а) [pic 1]; б) [pic 2]; в) [pic 3];
г) [pic 4].

Решение:

а) [pic 5]= + с[pic 6]

Ответ: + с[pic 7]

б) [pic 8]=  [pic 9]

Ответ: [pic 10]

в) [pic 11] = dx =  = [pic 12][pic 13][pic 14]

Ответ: [pic 15]

г) [pic 16] = =[pic 17][pic 18]

Ответ: [pic 19]

Тема 9. Определенный интеграл

9.1. Вычислить определенный интеграл.

  а) [pic 20]; б) [pic 21].

Решение: а) [pic 22];= [pic 23]

Ответ: [pic 24]

б) =[pic 25]

=[pic 26][pic 27]

Ответ: [pic 28]

9.2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж.

 [pic 29]

Решение:

   [pic 30]

График функции  х + у=- 4 – прямая, проходящая через точки (0;-4) и (-4;0).

Найдём пределы интегрирования, решив уравнение [pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 35][pic 34]

                                  y

                                  2

                                  1

    -3       -2      -1       0      1                     x[pic 36]

[pic 37][pic 38][pic 39]

                                  -1[pic 40]

[pic 41][pic 42]

                                  -2[pic 43]

[pic 44]

                                  -3

[pic 45]

                                  -4

[pic 46]

Ответ:    кв. ед.[pic 47]

Тема 10. Несобственный интеграл

Вычислить интеграл или установить его расходимость.

а) [pic 48]; б) [pic 49].

Решение: а) = [pic 50][pic 51]

Ответ: [pic 52]

б)   = 2[pic 53][pic 54][pic 55]

Ответ: 2[pic 56]

Тема 11. Ряды

11.1. Числовые ряды. Исследовать ряд на сходимость.

[pic 57]

Решение: Применим признак Даламбера.

[pic 58]

Так как [pic 59]

Ответ:
ряд      сходится[pic 60]

11.2. Степенные ряды. Определить область сходимости степенного ряда.

Решение:

[pic 61]

1. Применим признак Даламбера.  [pic 62]

[pic 63]

=  = [pic 64][pic 65][pic 66]

Найдём интервал сходимости  [pic 67]

[pic 68]

[pic 69]

[pic 70]

При  ряд сходится абсолютно. Исследуем сходимость ряда в точках х = - 1 и  х = 3[pic 71]

2. при х = - 1 получим ряд
[pic 72]

  Применим признак Лейбница:

       Во-первых, выполняется неравенство для всех n.[pic 73][pic 74]

       Во-вторых, ,  следовательно, при х = - 1 ряд сходится.[pic 75]

При х = 3 получим гармонический ряд  который расходится[pic 76]

Ответ: ряд сходится при [pic 77]