Меншіксіз интеграл
Автор: kitsulalbina • Апрель 17, 2018 • Курсовая работа • 3,999 Слов (16 Страниц) • 1,626 Просмотры
Кіріспе
Анықталған интегралда интегралдау интервалдары шекті деп және интеграл астындағы функция сол аралықта шексіздікке айналмайды деп алдық. Ондай интегралдарды меншікті интегралдар деп атаймыз. Егер ең болмағанда жоғарыдағы екі шарттың біреуі орындалмаса, онда интеграл меншіксіз интеграл деп аталады.
Курстық жұмыстың мақсаты – шектері шексіз интеграл ұғымына түсінік беріп және практикада қоладнылуын көрсетіп,әр түрлі теоремалар арқылы түсіндіру.
Курстық жұмыстың міндеттері:
- Меншіксіз интеграл анықтамасын беріп, теоремаларды түсіндіру;
- Шектері шексіз интегралдарға түсінік беріп, олардың жинақтылық белгілерін көрсету;
- Меншіксіз интергралдардың бас мәндерін айқындау;
- Меншіксіз интегралдардың практикада кездесетін интегралдарды есептеп шығару.
- Меншіксіз интеграл
- Шектері шексіз интегралдар
Біздің осы уақытқа дейін ұарастырған интегралдарымыздың интегралдау аралығы шексіз болсын. Міне, осы жағдайы қарайық.
Айталық, функция f(x) , (a,∞ ) аралығында анықталған және интегралданатын болсын. Сонымен, келесі интегралды
[pic 1]
қараймыз.
Егер, l- шексіз өсумен бірге, осы қарастырып отырған интеграл бір тиянақты шекке ұмтылса, онда f(x) функциясын a – дан ∞ - ке дейін интегралданатын функция деп атайды. Сөйтіп, анықтауымыз бойынша
[pic 2]
Егер (1) теңдіктің оң жағында тұрған шек бар болатын болса, онда мына интегралды
[pic 3]
жинақты интеграл деп атайды.
Егер l шексіздікке ұмтылғанда интеграл l ешбір тиянақты шекке ұмтылмаса немесе абсолют шамасы бойынша шексіз өссе, онда мына интегралдың [pic 4][pic 5]
мағынасы болмайды және бұл жағдайда интегралды жинақсыз интеграл деп аталады.
Мына төмендегі интегралдар да[pic 6][pic 7]
жоғарыдағыша анықталады. Бұл екі интегралдың кейінгісін былай анықтауға да болады:[pic 8][pic 9]
Алғашқы F(x) функциясы бар, f(x) функциясы үшін интеграл [pic 10][pic 11]
кәдімгі анықталған интеграл қалай есептелініп шығарылса, ол да солай шығарылады, яғни
(2)[pic 12]
мұнда
[pic 13]
Шынында, анықтама бойынша
[pic 14]
Мысал. [pic 15][pic 16]
Мысал. [pic 17][pic 18]
Мысал. [pic 19][pic 20]
[pic 21]
Сөйтіп, интерграл
[pic 22]
жинақсыз.
Шексіз аралықта анықталған немесе шекті аралықтың кейбір нүктелерінде берілген функция шексіздікке айналатын интегралдар меншіксіз интегралдар деп аталады.
Егер мына интегралдар
[pic 23]
жинақты болса, онда мына интеграл да
[pic 24]
жинақты болады және
(3)[pic 25]
Меншіксіз интегралдардың келесі қасиеттерін айтып кетейік:
- (4)[pic 26]
- [pic 27]
- [pic 28]
- Егер болатын болса, онда [pic 29]
[pic 30]
- Алғашқы функцияны білмей –ақ меншіксіз интегралдардың жинақтылығы туралы біраз белгілерді келтіруге болады. Одан бұрын мен бір көмекші теоремаға тоқтап кетемін.
Лемма. Айнымалы х мына ке ұмтылғанда функция F(x) бір тиянақты шекке ұмтылу үшін p мен q сандары бір –біріне тәуелсіз шексіздікке ұмтылғанда мына F(p) – F(q) айырманың нольге ұмтылуы қажетті және жеткілікті.[pic 31]
Бұл лемманы екінші түрде былай тұжырымдауға болады:
Функция F(x) бір тиянақты шекке ұмтылу үшін алдын ала берілген оң мейлінше аз санына сәйкес N саны болып табылып, осы N санынан артық p және q сандары үшін келесі теңсіздіктің: [pic 32][pic 33]
(5)[pic 34]
орындалуы қажетті және жеткілікті.
Алдымен леммадағы айтылған шарттың қажеттілігін дәлелдейік. Ол үшін аргумент x мына ке ұмтылғанда, функция F(x) тиянақты L санына ұмтылады деп ұйғарайық, яғни [pic 35]
...