Неопределенный интеграл. Понятие первообразной функции. Свойства неопределенного интеграла

Тема 1. Неопределенный интеграл. Понятие первообразной функции. Свойства неопределенного интеграла

Цель лекции:

- введение основных понятий и приемов интегрирования

- выработка умений и навыков нахождения неопределенного интеграла

Вопросы, выносимые для рассмотрения:

1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.

2. Основные методы интегрирования.

3. Интегрирование дробно-рациональных функций.

4. Интегрирование простейших иррациональностей и интегрирование тригонометрических выражений

1 Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.  Дифференцирование- это операция нахождения по заданной функции ее производной, а интегрирование- это отыскание функции по   её производной.

Определение 1. Функция [pic 1] называется первообразной функцией для  функции [pic 2]) на данном промежутке, если на этом промежутке [pic 3].

      Теорема 1. Если [pic 4]и [pic 5] -двепервообразные для функции[pic 6]в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.

    Определение 2. Выражение [pic 7], где [pic 8] - первообразная функции [pic 9] и С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции [pic 10] и обозначается символом [pic 11], причем [pic 12] называется подынтегральной функцией, [pic 13] - подынтегральным выражением, [pic 14] - переменной интегрирования; [pic 15]- знак неопределенного интеграла. Таким образом, по определению [pic 16], если [pic 17].

     Возникает вопрос: для всякой ли функции [pic 18] существует первообразная, а значит, и неопределенный интеграл? Имеет место

     Теорема 2. Если функция [pic 19] непрерывна на сегменте [a;b], то на этом сегменте у функции [pic 20]существует первообразная.

     Ниже будем говорить о первообразных лишь для непрерывных функций.

     Свойства неопределенного интеграла.

        1. [pic 21], а значит, [pic 22].

        2. [pic 23], это можно записать так [pic 24].

        3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

[pic 25],

        4. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:[pic 26].

       Таблица основных интегралов. Таблица содержит формулы, легко проверяемые непосредственным дифференцированием: