Матрицы

ТЕМА: Матрицы.

Цель занятия: изучить основные виды матриц и их характеристики; научиться выполнять операции над матрицами: сложение, вычитание, умножение, транспонирование.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

1. Понятие матрицы.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Числа m и n называются порядками матрицы. Для обозначения матрицы будем применять квадратные скобки. В общем виде матрицы обозначаем заглавными латинскими буквами, а ее элементы – малыми буквами с двойным индексом, где первый индекс – номер строки, а второй – номер столбца.

Пример. [pic 1]  или [pic 2], где [pic 3], [pic 4].

[pic 5], [pic 6], [pic 7].

2. Основные операции над матрицами и их свойства.

Матрицы называются равными, если они имеют одинаковый порядок и все их соответственные элементы совпадают. Например, [pic 8], если [pic 9], [pic 10], [pic 11].

Пусть [pic 12], [pic 13] и  [pic 14]– элементы матриц A, B и C одного порядка; λ и μ – произвольные действительные числа.

Суммой матриц A и B называется матрица [pic 15] такая, что каждый ее элемент равен сумме соответствующих элементов матриц A и B: [pic 16].

Пример. [pic 17], [pic 18], то [pic 19].

Свойства операции сложения матриц:

1) переместительное: [pic 20];

2) сочетательное: [pic 21].

Произведением матрицы A на число λ называется матрица [pic 22], где [pic 23].

Свойства произведения матрицы на число:

1) сочетательное относительно множителей: [pic 24];

2) распределительное относительно суммы матриц: [pic 25];

3) распределительное относительно суммы чисел: [pic 26].

Произведением матрицы [pic 27] с порядками m и n на матрицу [pic 28] с порядками n и p называется матрица [pic 29] с порядками m и p, элементы которой определяются формулой:[pic 30].

Для умножения матрицы A на матрицу B необходимо, чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B.

Примеры

1. [pic 31].

2. [pic 32][pic 33].

Свойства умножения матриц:

1) сочетательное: [pic 34];

2) распределительное относительно суммы матриц: [pic 35];

3) не обладает переместительным свойством: [pic 36].

Матрицы называются коммутирующими, если для них выполняется переместительное свойство:

[pic 37].

3. Виды матриц.

Матрица, состоящая из одного элемента называется матрицей-элементом: [pic 38].

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой: [pic 39].

Матрица состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом: [pic 40].

Матрица называется квадратной, если [pic 41], где [pic 42] – ее порядок.

Главная диагональ квадратной матрицы – это диагональ [pic 43], идущая из левого верхнего угла в правый нижний.

Побочная диагональ квадратной матрицы – это диагональ [pic 44], идущая из левого нижнего угла в правый верхний.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю:                         [pic 45].