Контрольная работа по "Линейной алгебре и аналитической геометрии"

1) Даны матрицы и число . Найти матрицу .

4). , A= (■(8&1@-8&2@-5&3)), B=(■(5&-4&-3@-3&4&1)), C=(■(-6&3&-3@7&-2&-7@5&-1&1)).

A-B=(■(-4&-3@-3&-1@4& 6))×(■(7&5&-4@1&4&-3))= (■(-4×7+-3×1 @-3×7+ -1×1 @4×7+ 6×1) ■(-4×5+-3×4&-4×(-4)+(-3)×(-3)@-3×5+ -1×4&-3×(-4)+ (-1)×(-3)@4×5+ 6×4&4×(-4)+6×(-3))) = (■(-31&-32&25@-22&19&15@34&44&-34))

×C= - 2 (■(1&-5&-6@-4&-1&4@1&-6&7)) =(■(-2&10&12@8&2&-8@-2&12&14))

Ответ: AB+qC = (■(-33&-22&37@-14&-17&7@32&56&-20)).

Выполним умножение матриц A и B:

A*B = (3*-1 + 7*-3 + 1*-1, 3*-5 + 7*-7 + 1*2, 3*4 + 7*8 + 1*-5,

1*-1 + 2*-3 + 5*-1, 1*-5 + 2*-7 + 5*2, 1*4 + 2*8 + 5*-5,

5*-1 + 2*-3 + 2*-1, 5*-5 + 2*-7 + 2*2, 5*4 + 2*8 + 2*-5)

= (-3 - 21 - 1, -3 - 49 + 2, 12 + 56 - 5,

-1 - 6 - 5, -5 - 14 + 10, 4 + 16 - 25,

-5 - 6 - 2, -25 - 14 + 4, 20 + 16 - 10)

= (-25, -52, 63,

-12, -9, -5,

-13, -35, 26)

Теперь умножим матрицу C на число 3:

qC = 3 * (■(-1&2&-3@1&3&4@-1&7&-5))

= (■(3*-1&3*2&3*-3@3*1&3*3&3*4@3*-1&3*7&3*-5))

= (■(-3&6&-9@3&9&12@-3&21&-15))

= (■(-3&6&-9@3&9&12@-3&21&-15))

Теперь сложим полученные матрицы AB и qC:

СОДЕРЖАНИЕ

1. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ РЕЙТИНГОВОЙ РАБОТЫ 3

2. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………………..8

ВВЕДЕНИЕ

D = AB + qC = (■(-25&-52&63@-12&-9&-5@-13&-35&26)) +

(■(-3&6&-9@3&9&12@-3&21&-15))

= (■(-25-3&-52+6&63-9@-12+3&-9+9&-5+12@-13-3&-35+21&26-15))

= (■(-28&-46&54@-9&0&7@-16&-14&11))

Ответ: D = (■(-28&-46&54@-9&0&7@-16&-14&11))

3) Известны координаты (см. таблицу 1) в прямоугольной системе координат трех точек , являющихся вершинами треугольника. Изобразить треугольник в этой прямоугольной системе координат и найти:

4 A(-1;0) B(-1;4) C(9;4)

3.3 Найти векторное произведение векторов , и площадь треугольника :

Площадь ΔABC равна половине длины векторного произведения векторов и .

SΔ ABC = 1/2 |[ × ]|= 1/2 [ × ]=1/2 | |×|( )| sin A=

1/2 3√10×4√5×sin⁡〖45°〗=6√50×1/√2 = 6√(25 )= 6×5=30.

Векторное произведение – это вектор перпендикулярный к плоскости этих векторов его длина |e ⃑ |=|a ⃑ |×|b ⃑ |×sin⁡((a;) ⃑˄b ⃑).

3.4 Найти значение параметра , при котором векторы и будут коллинеарны: A (-2;-3), B (1;6), C (6;1). 3;9} = {5;-5}

={8;4}

Найдем координаты вектора = {6-1; 1-6}={5;-5} и = {3+8β; 9+4β}, два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны

(3+8β)/5 = (9+4β)/(-5)

(3+8β)×(-5)= (9+4β)×5

-15-40β=45+20β

-40β-20β=45+15

-60β=60

β=1

Ответ: β=1

3.5 Найти координаты точки , делящей отрезок в отношении :

Для нахождения координат точки D, делящей отрезок BC в отношении λ, рассчитаем координаты D следующим образом:

x_D = (1 - λ) * x_B + λ * x_C

y_D = (1 - λ) * y_B + λ * y_C

Подставим известные значения координат:

x_B = -1

y_B = 4

x_C = 9

y_C = 4

Подставим λ = 1/2:

x_D = (1 - 1/2) * (-1) + (1/2) * 9

y_D = (1 - 1/2) * 4 + (1/2) * 4