Контрольная работа по "Алгебре"

КР №1

Вариант №8

Задание №6

Даны координаты точек А, В, С  А(–3; 4), В(5; 7), С(7;–1).

Найти: а) уравнение прямой АВ; б) уравнение прямой, которая проходит через точку С перпендикулярно АВ; в) уравнение прямой, которая проходит через точку С параллельно АВ; г) расстояние от точки С до прямой АВ. Уравнения записать в общем виде и с угловым коэффициентом. Прямые показать на чертеже в системе координат xOy

Решение

а) Определяем уравнение прямой АВ.

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки:

[pic 1]

В нашем случае:

[pic 2] - уравнение прямой АВ или  у = [pic 3] = [pic 4]

 б)  Определяем   уравнение прямой, которая проходит через точку С перпендикулярно АВ:

Прямая, проходящая через точку С(7;–1) и перпендикулярная прямой y=ax+b, представляется уравнением:

y–y1= [pic 5](x-x1)

где х1, у1 – координаты точки С.

а  - угловой  коэффициент прямой АВ а =[pic 6]

В нашем случае получаем:

у+1 = [pic 7](х-7) или у= [pic 8]

в) Определяем   уравнение прямой, которая проходит через точку С параллельно АВ:

Прямая, проходящая через точку K(x0; y0) и параллельная прямой

y = kx + a находится по формуле:

y - y0 = k(x - x0)

где k - угловой коэффициент прямой.

 В нашем случае получаем:

у +1 = [pic 9](х-7) или у = [pic 10]= [pic 11] =[pic 12]

г) Определяем расстояние от точки С до прямой АВ:

Для вычисления расстояния от точки С (Сx; Сy) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:

d = [pic 13]= [pic 14]

[pic 15]

ЗАДАНИЕ 7

Записать каноническое уравнение кривой, применяя метод выделения полного квадрата. Найти координаты центра кривой, координаты вершин. Сделать чертеж в системе координат xOy.

4х2 + 4у2 + 16х – 32у – 41 = 0

Решение.

1. Определение типа кривой. 
Приводим квадратичную форму: 
B = 4x2 + 4y2  к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы: [pic 16][pic 17]

         4    0

В =   0    4        

Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

(4-λ)*x1+0*y1 =0

0*x1 + (4-λ)*y1 =0

Характеристическое уравнение:

         4-λ    0[pic 18][pic 19]

В =   0    4-λ        = λ2 - 8λ +16 =0

λ2 - 8λ +16 =0

D = 82 – 4*16 =64-64 = 0

λ1 = λ2 = [pic 20]

Исходное уравнение определяет окружность (λ1 > 0; λ2 > 0;)

Выделяем полные квадраты: 
для x1: 
4(x12+2·2x1 + 22) -4*22 = 4(x1+2)2-16 
для y1: 
4(y12-2·4y1 + 42) -4·42 = 4(y1-4)2-64 
В итоге получаем: 
4(x1+2)2+4(y1-4)2 – 16 – 64 – 41 = 0

4(x1+2)2+4(y1-4)2 = 121

Разделим все выражение на 121

[pic 21]

Определяем параметр кривой:

R2 = [pic 22]

R = [pic 23]

Данное уравнение определяет окружность с центром в точке:  C(-2; 4) 
Вследствие равенства a = b = R, c = 0 эксцентриситет окружности равен 0. 

[pic 24]

<ЗАДАНИЕ 8

Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки А, В, С.