Задачи по "Линейной алгебре и математическому анализу"

Задание I. По координатам вершин пирамиды A1(10,6,6), A2(-2,8,2), A3(6,8,9), A4(7,10,3) найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

Решение:

1. используем формулу: [pic 1]

.[pic 2]

1. для нахождения угла используем скалярное произведение векторов:

 [pic 3]

 [pic 4]

 [pic 5]

 [pic 6]

 [pic 7]

1. используем формулу: [pic 8]

 [pic 9]

Найдем нормаль к плоскости А1А2А3:

 [pic 10]

 [pic 11]

1. площадь грани найдем через векторное произведение: ; .[pic 12][pic 13]
2. объем пирамиды найдем через смешанное произведение векторов:

 [pic 14]

 [pic 15]

. [pic 16]

1. уравнение прямой: [pic 17]

 [pic 18]

1. составим уравнение плоскости по точке A1, принадлежащей плоскости, и вектору нормали плоскости:

 [pic 19]

 [pic 20]

 [pic 21]

 – уравнение плоскости А1А2А3.[pic 22]

1. уравнение высоты составим по точке, принадлежащей ей, и по вектору нормали плоскости:

 [pic 23]

 [pic 24]

Задание II. Даны вершины четырехугольника A(0;6), B(7;12), C(6;2), D(2;2). Найти точку пересечения его диагоналей.

Решение:

Составим уравнения диагоналей AC и BD как прямых и найдем точку их пересечения.

 - уравнение прямой AC.[pic 25]

 - уравнение прямой BD. [pic 26]

 [pic 27]

(3;4) – точка пересечения диагоналей.

Задание III. Решить систему линейных уравнений, используя формулы Крамера: [pic 28]

Решение:

 [pic 29]