Дифференциальные уравнения. Числовые и степенные ряды

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

«Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова»

ЗАДАНИЕ

Вариант №14

Задание 1.  Решить дифференциальные уравнения (указав их тип):

1.  ;                       1.4  ;[pic 1][pic 2]
2. ;     1.5[pic 3][pic 4]
3.                              1.6   .[pic 5][pic 6]

Задание 2. Исследовать числовые ряды на сходимость:

2.1 ;                                            2.2 [pic 7][pic 8]

Задание 3. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

[pic 9]

Задание 4. Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости:

4.1                            4.2
[pic 10][pic 11]

ЛИСТ ДЛЯ ЗАМЕЧАНИЙ

Вариант № 14

Задание 1.  Решить дифференциальные уравнения (указав их тип):

1.1.  ;                       1.4.  ;[pic 12][pic 13]

1.2.;     1.5.[pic 14][pic 15]

1.3.                              1.6.   .[pic 16][pic 17]

Решение:

1.     [pic 18]

Выразим из уравнения производную y′ :

[pic 19]

Это        уравнение c разделяющимися переменными. Имеем:

[pic 20]

Разделяем переменные:

[pic 21]

Интегрируем обе части последнего равенства:

[pic 22]

[pic 23]

Возможная потеря корней:            
[pic 24][pic 25]

Ответ: , [pic 26][pic 27]

1. [pic 28]

Данное уравнение линейное, найдём его общее решение методом Бернулли. Сделаем подстановку  Подставим выражения в заданное уравнение:
[pic 29][pic 30]