Дифференциальные уравнения, интервалы, ряды, статистика
Автор: Nataly2020 • Август 4, 2023 • Контрольная работа • 5,189 Слов (21 Страниц) • 85 Просмотры
Контрольная работа №3 Вариант №10
Задание №1
Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка:
𝑦′ − 𝑦 𝑡𝑔 𝑥 = 1[pic 1]
cos 𝑥
, 𝑦(0) = 5
Решение:
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Его решение будем искать в виде:
𝑦 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥), тогда 𝑦′ = 𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣′
Подставим данные значения в исходное уравнение:
𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣′ − 𝑢𝑣 𝑡𝑔 𝑥 = 1[pic 2]
cos 𝑥
𝑢′ 𝑣 + 𝑢(𝑣′ − 𝑣 ∙ 𝑡𝑔 𝑥) = 1[pic 3]
cos 𝑥
(∗)
Выберем функцию 𝑣 таким образом, чтобы выражение в скобках равнялось нулю:
𝑣′ − 𝑣 ∙ 𝑡𝑔 𝑥 = 0
𝑑𝑣
[pic 4]
𝑑𝑥
= 𝑣 ∙ 𝑡𝑔 𝑥
𝑑𝑣
[pic 5]
𝑣
= 𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥
Интегрируем обе части уравнения:
𝑑𝑣
∫ 𝑣 = ln|𝑣| ∫ 𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 = − ln|cos 𝑥| + 𝐶1[pic 6]
Выберем частное решение при 𝐶 = 0
ln|𝑣| = − ln|cos 𝑥| 𝑣 =
1
[pic 7]
cos 𝑥
Подставим данное значение в уравнение (*)
𝑢′ ∙ 1 cos 𝑥[pic 8]
1
=[pic 9]
cos 𝑥
=> 𝑢′ = 1 𝑢 = ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
Общее решение уравнения:
𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 = (𝑥 + 𝐶) ∙
1
[pic 10]
cos 𝑥
𝑥 + 𝐶
=[pic 11]
cos 𝑥
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
𝑦(0) = 5 => 5 =
0 + 𝐶
[pic 12]
cos 0
=> 𝐶 = 5
Частное решение уравнения:
𝑦 =[pic 13]
𝑥 + 5 cos 𝑥
Задание №2
Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.
𝑦′′ − (𝑥 + 2)5 = 1, 𝑦(−1) = 1 , 𝑦′ (−1) = − 1[pic 14][pic 15]
12 4
Решение:
𝑦′′ − (𝑥 + 2)5 = 1 => 𝑦′′ = (𝑥 + 2)5 + 1
Данное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, допускающее понижение порядка. Дважды интегрируя обе части уравнения получим решение уравнения:
𝑦′ = ∫((𝑥 + 2)5 + 1) 𝑑𝑥 = 1 (𝑥 + 2)6 + 𝑥 + 𝐶
[pic 16]
6 1
𝑦′ (−1) = − 1 => 1 (−1 + 2)6 − 1 + 𝐶 = − 1
[pic 17] [pic 18] [pic 19]
7
=> 𝐶 =
[pic 20]
4 6
𝑦′ = 1 (𝑥 + 2)6 + 𝑥 + 7[pic 21][pic 22]
1 4 1 12
6 12
1
𝑦 = ∫ ([pic 23]
6
(𝑥 + 2)6 + 𝑥 +
7
) 𝑑𝑥 =[pic 24]
12
1 (𝑥 + 2)7 +
42[pic 25]
𝑥2
[pic 26]
2
7
+ 12 𝑥 + 𝐶2[pic 27]
1
𝑦(−1) =[pic 28]
12
=> 1 (−1 + 2)7 +
42[pic 29]
(−1)2
[pic 30]
2
7 1
− 12 + 𝐶2 = 12[pic 31][pic 32]
...