Дифференциальные уравнения
Автор: EvgenZ • Апрель 8, 2023 • Контрольная работа • 2,408 Слов (10 Страниц) • 258 Просмотры
Контрольная работа
“ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ”
Вариант – 2
ЗАДАНИЕ. Решить дифференциальные уравнения:
[pic 1]
[pic 2]
[pic 3]
[pic 4]
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
- Решение:
[pic 8]
Переносим второе слагаемое в правую часть, получаем:
[pic 9]
[pic 10]
Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Делим обе части уравнения на множители, «лишние» при дифференциалах.
[pic 11]
Теперь можно проинтегрировать, так левая часть зависит только от , а правая зависит только от :[pic 12][pic 13]
[pic 14]
Находим интегралы по отдельности.
[pic 15]
[pic 16]
Делаем подстановку
[pic 17]
[pic 18]
Подставляем найденные интегралы в
[pic 19]
и получаем
.[pic 20]
Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения.
Ответ: [pic 21]
- Решение:
[pic 22]
Переносим второе слагаемое в правую часть, получаем:
[pic 23]
Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Делим обе части уравнения на множители, «лишние» при дифференциалах.
[pic 24]
Теперь можно проинтегрировать, так левая часть зависит только от , а правая зависит только от :[pic 25][pic 26]
[pic 27]
Находим интегралы по отдельности.
[pic 28]
Делая подстановку
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
Делаем подстановку
[pic 32]
[pic 33]
Подставляем найденные интегралы в
[pic 34]
и получаем
.[pic 35]
Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения.
Ответ: [pic 36]
3. Решение:
[pic 37]
Так как и присутствуют в дифференциальном уравнении только в первых степенях, то это линейное ДУ.[pic 38][pic 39]
Находим общее решение ДУ методом Бернулли, т. е. в виде
[pic 40]
Подставляем в исходное уравнение:
[pic 41]
Группируем первое и третье слагаемые и выносим за скобки , получаем[pic 42]
[pic 43]
Находим такую функцию , чтобы скобка была равна нулю. [pic 44]
[pic 45]
– это ДУ с разделяющимися переменными.
Заменяем
[pic 46]
Здесь «лишний» множитель при , делим на него обе части уравнения:[pic 47][pic 48]
[pic 49]
[pic 50]
Нашли функцию , при которой выражение в скобках равно нулю. Подставляем найденное в [pic 51][pic 52]
[pic 53]
получаем
[pic 54]
Умножим обе части уравнения на , получаем:[pic 55]
[pic 56]
Интегрируем обе части уравнения:
[pic 57]
Получили общее решение ДУ:
[pic 58]
Замечание. Здесь слагаемое является общим решением линейного однородного уравнения а второе слагаемое является частным решением исходного линейного неоднородного уравнения[pic 59][pic 60][pic 61]
[pic 62]
Сделаем проверку общего решения линейного однородного дифференциального уравнения [pic 63]
[pic 64]
Подставляем в
[pic 65]
получаем
[pic 66]
т. е. верное равенство – общее решение линейного однородного (с нулевой правой частью) дифференциального уравнения.[pic 67]
Теперь сделаем проверку частного решения
[pic 68]
Подставляем в исходное ДУ:
[pic 69]
[pic 70]
[pic 71]
[pic 72]
Получили верное равенство, т. е. именно такая функция при прохождении через данное дифференциальное уравнение дала правую часть , что и доказывает, что найденное является частным решением исходного дифференциального уравнения.[pic 73][pic 74][pic 75]
Теперь приступим к решению задачи Коши. Подставим данное начальное условие в полученное общее решение:
[pic 76]
Ответ: [pic 77]
...