Дифференциальные уравнения
Автор: Aleksandr Evdokimovb • Январь 2, 2022 • Контрольная работа • 609 Слов (3 Страниц) • 235 Просмотры
[pic 1]
Решение:
Находим частные производные данной функции:
[pic 2] [pic 3]
[pic 4]
Подставляем найденные выражения в левую часть уравнения:
[pic 5]
Получили правую часть уравнения – уравнение выполнено, что и требовалось показать.
[pic 6]
[pic 7]
Решение:
Находим точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума:
[pic 8]
Получили точку (1;-4). Для определения характера найденной точки вычисляем:
[pic 9]
Поскольку [pic 10], в найденной точке экстремума нет.
Ответ: функция не имеет экстремумов.
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
Решение:
Границы области интегрирования:
[pic 14].
Чертеж области интегрирования:
[pic 15]
Границы области при изменении порядка интегрирования:
[pic 16]
Соответственно изменяем порядок интегрирования интеграла и пределы интегрирования по каждой переменной:
[pic 17].
Вычисляем оба интеграла:
[pic 18]
[pic 19].
[pic 20]
[pic 21].
Ответ: [pic 22], 6.
[pic 23]
[pic 24]
Решение:
1) Вычисляем заданный интеграл по ломаной ОАС:
[pic 25]
[pic 26]
На отрезке ОА: y=0 → dy=0, x изменяется от 0 до 4, поэтому
[pic 27],
На отрезке АС: x=4 → dx=0, y изменяется от 0 до 8, поэтому
[pic 28]В итоге получаем:
[pic 29]16 + 32 = 48.
2) Вычисляем заданный интеграл по ломаной ОВС:
[pic 30]
[pic 31]
На отрезке ОВ: х=0 → dх=0, у изменяется от 0 до 8, поэтому
[pic 32]
На отрезке ВС: у=8 → dу=0, х изменяется от 0 до 4, поэтому
[pic 33]В итоге получаем:
[pic 34]128 - 80 = 48.
3) Вычисляем заданный интеграл по дуге ОС параболы [pic 35]:
Параметрические уравнения дуги параболы: [pic 36], t меняется от 0 до 4, поэтому:
[pic 37]
[pic 38]
[pic 39].
Совпадение полученных результатов объясняется тем, что интегрируемое выражение является полным дифференциалом:
[pic 40]
где [pic 41], поэтому для любого пути интегрирования с начальной точкой О(0;0) и конечной точкой С(4;8):
[pic 42][pic 43]
[pic 44].
Ответ: 48.
[pic 45]
[pic 46]
Решение:
Дано однородное уравнение: ищем решение в виде y=xz. Подставляя в уравнение, получаем:
[pic 47]
[pic 48]
[pic 49].
[pic 50]
Ответ: [pic 51].
[pic 52]
[pic 53]
Решение:
Дано линейное однородное ДУ с постоянными коэффициентами: характеристическое уравнение [pic 54] имеет корни [pic 55]. Следовательно, общее решение уравнения имеет вид:
...