Дифференциальные и разностные уравнения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФАКУЛЬТЕТ БИЗНЕСА

                  Дифференциальные и разностные уравнения

Выполнил:
студент группы ДЭ-710
Джамиев Ш.Р.
Проверил:
Гусев С.А

г. Новосибирск 2017

1. Скорость роста количества бактерий пропорциональна их количеству. Первоначальное количество бактерий, равное [pic 1], в течение часа возросло в 3 раза. Определить количество бактерий через 3 часа.

Решение:

Пусть [pic 2] – количество бактерий в момент времени [pic 3]. Скорость роста количества бактерий – это производная от количества бактерий по времени.

Тогда, согласно условию задачи, [pic 4], здесь [pic 5] – коэффициент пропорциональности.

Интегрируя полученное уравнение, находим:

[pic 6]

Согласно начальному условию, [pic 7]. Тогда

[pic 8]

Поскольку в течение часа число бактерий возросло в три раза, то

[pic 9]

[pic 10] – закон изменения количества бактерий с течением времени.

Через 3 часа число бактерий равно [pic 11].

Ответ: через 3 часа число бактерий [pic 12].

Решить уравнения:

1. [pic 13]

Решение:

[pic 14]– дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Разделим переменные в заданном уравнении:

[pic 15]

Проинтегрируем обе части полученного уравнения с разделенными переменными:

[pic 16]

[pic 17] – общее решение дифференциального уравнения.

Ответ: [pic 18] – общее решение дифференциального уравнения.

1. [pic 19]

Решение:

Запишем исходное уравнение в виде:

[pic 20] – линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решим его методом Бернулли. Пусть [pic 21], тогда [pic 22]. При подстановке в исходное уравнение получим:

[pic 23]

[pic 24]                                        (*)

Решим первое уравнение системы (*):

[pic 25]

Проинтегрируем обе части полученного уравнения с разделенными переменными:

[pic 26]

При подстановке во второе уравнение системы (*) [pic 27] получим:

[pic 28]

[pic 29] – общее решение дифференциального уравнения.

Ответ: [pic 30] – общее решение дифференциального уравнения.

1. [pic 31]

Решение:

[pic 32] – однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Пусть [pic 33], тогда [pic 34], [pic 35]. При подстановке в исходное уравнение получим:

[pic 36]

Проинтегрируем обе части полученного уравнения с разделенными переменными:

[pic 37]

[pic 38] – общее решение дифференциального уравнения.

Ответ: [pic 39] – общее решение дифференциального уравнения.

1. [pic 40]

Решение:

Решим систему [pic 41] Получим: [pic 42]

Сделаем подстановку [pic 43], [pic 44]. Тогда [pic 45], [pic 46]. При подстановке в исходное уравнение получим:

[pic 47]

[pic 48] – однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Пусть [pic 49], тогда [pic 50], [pic 51]. При подстановке в исходное уравнение получим:

[pic 52]

Проинтегрируем обе части полученного уравнения с разделенными переменными: