Исследование неавтономных дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа

Исследование неавтономных дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа

Зарафутдинов Шамиль Шамгунович

Сибайский институт (филиал) БашГУ

Россия, Республика Башкортостан, г. Сибай, 453838, ул. Белова,21,zarafutdinov.shamil@ya.ru 

В работе рассматривается достаточные признаки бифуркаций вынужденных и субгармонических колебаний в неавтономных системах дифференциальных уравнений запаздывающего типа.

Ключевые слова: характеристический квазиполином, асимптотическая устойчивость, бифуркации субгармонических колебаний.

Рассмотрим систему   [pic 1]

Здесь  интеграл представляется в двух линейных системах. Пусть система (1) при некотором  имеет периодическое решения.[pic 2][pic 3]

Определение 1.Пусть k- натуральное число. Значение  параметра  называется точкой бифуркаций периодическое решение системы (1) если каждому  соответствует такое при которым система (1) имеет ненулевое  периодическое решение , при этом при  При  говорят о бифуркаций вынужденных колебаний. При  говорят о бифуркации субгармонических колебаний.[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

Пусть матрица  представляется в виде суммы матриц  где   [pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18]

Определим квазиполином

 [pic 19]

Рассмотрим достаточные условия бифуркации вынужденных колебаний. Здесь , где комплексная переменная, а  параметр.[pic 20][pic 21][pic 22]

Теорема1. Пусть выполнены условия

 тогда является точкой бифуркации вынужденных колебаний системы (1) .[pic 23][pic 24]

Теперь рассмотрим достаточные условия субгармонических колебаний здесь [pic 25]

Теорема 2. Пусть выполнены условия

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

Тогда пара чисел  представляют собой точки бифуркации субгармонических колебаний системы (1).[pic 29]

Пример 1. Проведем исследование систем вида (1) а именно перейдем точки бифуркации, используя математический пакет Maple.

[pic 30]

[pic 31]

Здесь можно записать в виде суммы матрицу.[pic 32]

[pic 33]

Очевидно что матрица будет нулевой при [pic 34]

Вводим матрицу  и их размерность.[pic 35]

>restart;with(linalg):

[pic 36]

[pic 37]

>n:=2;[pic 38]

[pic 39]

Рис. 1.

Определяем характеристический квазиполином и находим частные производные первого порядка по параметрам от (2).

>if n>1 then M(p,,):=simplify(expand(charpoly(Q,p))); [pic 40][pic 41]

 simplify(expand(charpoly(Q,p)))

else M(p,,):=Q-p:Q-p; [pic 42][pic 43]

 end if;

 d:=diff(M(p,,),): [pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

 d:=diff(M(p,,),):[pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

[pic 52][pic 53]

Рис. 2.

Находим такие a и  при которых матица Q1 обратилась бы в нулевую матрицу. Для того чтобы можно было работать с матрицей Q2.[pic 54]

>k:=1;

For i to n do

For j to n do

S[k]:=Q1[i,j]=0;

print (s[k]);

k:=k+1

end do

end do;

eq:={s[1],s[2],s[3],s[4]};