Дифференциально-разностные уравнения параболического и эллиптического типа

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени И.С.Тургенева»

Физико-математический факультет

Кафедра «математического анализа и дифференциальных уравнений»

Индивидуальная работа

по дисциплине Дифференциальные и дифференциально-разностные уравнения

Тема: Дифференциально-разностные уравнения параболического и эллиптического типа

Студент Е.С.Шавырина

Группа 160465 61ММ

Направление  01.03.01 Математика

Орел 2020г.

Содержание

Введение        3

1.        Постановка задачи Коши для дифференциально-разностного уравнения параболического типа        4

Теорема 1 (единственности решения).        5

Теорема 2 (существования решения).        7

2.        Постановка задачи Дирихле для дифференциально-разностного уравнения в полуполосе        9

Теорема 3 (единственности решения).        10

Теорема 4 (существования решения).        12

Заключение        21

Литература        22

Введение

Большинство задач физики и техники не обходится без линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Наиболее оптимальным и универсальным методом их решения является метод конечных разностей или сеточный метод. Стремление к более детальному изучению физических явлений приводит к усложнению математических моделей, которые, как правило, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, что делает невозможным применение классических методов исследований. [1 c.5]

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшего исследования задач для дифференциально-разностных уравнений и систем дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием в областях изменения типа уравнений.

Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных результатов к исследованию различных физических и биологических смешанных процессов, в частности, в теории диффузии в пористых материалах, в нелинейной оптике, в изучении колебания кристаллической решетки, в теории популяций и др.

Детальное изучение окружающего мира вынуждает нас принять во внимание, например, тот факт, что скорость изменения в физических системах зависит не только от их состояния в настоящий момент, но от их предыстории. Учет последействия приводит к необходимости иметь дело с дифференциально-разностными уравнения параболического и эллиптического  типа [2 с. 7-38].

1. Постановка задачи Коши для дифференциально-разностного уравнения параболического типа[pic 1]

[pic 2]

 [pic 3]

[pic 4]

рассмотрим уравнение

                                   (1)[pic 5]

где [pic 6]функция Хевисайда [3 с. 60-63].

Задача  S1.  Найти  решения уравнения (1) из класса удовлетворяющее[pic 7][pic 8][pic 9]

начальному условию

[pic 10]

причём [pic 11]

Теорема 1 (единственности решения).  В заданной области решение задачи S1 – единственно.

Доказательство.

Доказательство проведём методом от противного. Пусть ,  два решения задачи S1. Тогда функция[pic 12][pic 13]

[pic 14]

будет удовлетворять уравнению

                        [pic 15]

начальному условию

[pic 16]

        Рассмотрим уравнение (5) в области , которое можно записать в виде[pic 17]

[pic 18]

с начальным условием (6).

        Аналогично [4, c 73-74], покажем что решение  единственно в .[pic 19][pic 20]