Жиындар мен жиындарға қолданылатын амалдар

Дәріс 1. Жиындар мен жиындарға орындалатын амалдар. Жиын құру әдістері. Эйлер диаграммасы. Жиындардың тура көбейтіндісі.

Дәрістің мақсаты:

1. Жиындар теориясының элементтері.

2. Жиындардың берілу тәсілдері.

3. Ішкі жиындарға қолданылатын амалдар.

4. Жиындар алгебрасы.

5. Жиындардың декарттық (тура) көбейтіндісі.

6. Жиынның бүркеуі мен бөлекшесі.

Жиындар теориясының элементтері.

Жиын математикадағы негізгі ұғымдарының бірі болғандықтан , оған анықтама берілмейді. Жиын деп белгілі математикалық объектілердің жиынтығын түсінеміз. Ол объектілер жиынның элементтері деп аталып, кіші әріптермен, ал жиынның өзі бас әріппен белгіленеді.

Жиынды мысалдар арқылы түсіндіреміз.Мысалы: аудиториядағы студенттер жиыны,1-ден 100-ге дейінгі натурал сандар жиыны,түзудегі барлық нүктелер жиыны .

Жиынды құраушы обьъектілер оның элементтері деп аталады. Жиынның элементтері латын немесе грек алфавитіндегі үлкен әріптермен, элементтерін кіші әріптермен белгіленеді. .

а элементі А жиынына тиістілігін а А, “ ”- тиістілік кванторымен белгіейді.

элементі А жиынына тиісті емес.

Жиі қолданылатын кванторлар:

-кез келген;

- табылады;

:(/)- мынадай, қасиетін сипаттау үшін;

- бұдан шығатын салдар;

- тепе-теңдік кванторы, тек сол жағдайда;

- қатаң енгізу кванторы.

Жиындардың берілу тәсілдері.

1. Мүшелерін тізіп жазу арқылы. Ақырлы жиын , ақырсыз жиын -тақ сандар жиыны.

2. Сипаттау арқылы. Мысалы жиынның кез келген х мүшесі р(х) қасиетіне ие болсын, онда осы элементтерден тұратын С жиыны былай беріледі:

Осы сияқты анықталған жиындар

А және В жиындары берілсін. Егер А жиынының кез келген х элементі в жиынындада да жатса, онда А жиыны В жиынының ішкі жиыны деп аталады. және деп белгіленеді. Кванторлар тілінде

Егер В жиынының А ішкі жиыны В жиынынан және -ден өзгеше болса, онда ол меншікті ішкі жиыны деп аталады. Кванторлар тілінде,

кез келген жиынның ішкі жиыны:

Қасиеттері:

а)

ә)

б)

В жиынының В және ішкі жиындары оның меншіксіз ішкі жиындары деп аталады. Егер жиын ең болмағанда екі элементтен тұрса, онда оның меншікті ішкі жиындары болады.

Мысалы: А={а,в} жиынының ішкі жиындары: {а},{в}, { },{а,в}. Бұл ішкі жиындардың ішінде {а},{в} – меншікті, ал { },{а,в} – меншіксіз болып табылады.

Ішкі жиындарға қолданылатын амалдар.

U (универсум) деп кең жиынды белгілейік, яғни элементтер осы жиыннан алынып отыратын болсын.

Эйлер – Вени диаграммасы. Тік төртбұрыштың нүктесі U жиынынан алынған деп есептейік. Мысалыға: жиындарын алайық.

1) Ең болмағанда А жиынына немесе В жиынына тиісті элементтер жиынын А және В жиындарының бірігуі (қосындысы) деп атаймыз.

2) А жиынына да В жиынына да тиісті элементтер жиынын А және В элементтер жиынының қиылысуы (көбейтіндісі) деп аталады.

3) А жиынына тиісті, бірақ В жиынына тиісті емес элементтер жиынын А және В жиындарының айырымы (А\В) деп атайды.

4) А және В жиындарының симметриялық айырымы (А В) деп келесі жиынды айтамыз

5) U\А жиыны А жиынының толықтауышы деп