Жиындарға амалдар қолдану

§1. Жиындарға амалдар қолдану

а) Қиылысу амалы. А мен В жиындарының қиылысуы деп осы жиындардың ортақ элементтерінен тұратын үшінші жиынды айтады. Оны А[pic 1]В арқылы белгілейді. А[pic 2]В={x [pic 3]А және х[pic 4]В}.

Егер А–кез келген жиын болса, онда А[pic 5]Ø=Ø; А[pic 6]А=А және А[pic 7]В болғанда А[pic 8]В=А.

б) Бірігу амалы. А мен В жиындарының бірігуі деп, осы жиындардың барлық элементтерінен тұратын үшінші жиынды айтады. Оны А[pic 9]В арқылы белгілейді. А[pic 10]В={x [pic 11]А немесе х[pic 12]В}.

Егер А,В–кез келген жиындар болса, онда А[pic 13]Ø=А; А[pic 14]А=А және егер А[pic 15]В болса, А[pic 16]В=В.

в) Алу амалы. А мен В жиындарының айырмасы деп А жиынының В жиынында болмайтын (В-ға тиісті емес) элементтерінен тұратын үшінші жиынды айтады. Оны А\В деп белгілейді. А\В={x [pic 17]А, х[pic 18]В}.

Универсал жиын. Жиын толықтырмасы.

Айталық, А[pic 19]М, кез келген жиын болсын. М-универсал жиын. А/=М\А жиыны А жиынының М универсал жиынға дейінгі толықтырмасы деп аталады. А/ жиынын А жиынының толықтырмасы деп айтуға болады.  

А[pic 20]А/=Ø, А[pic 21]А/=М. [pic 22]. Демек, А мен А/ жиындары бірін-бірі М жиынына дейін толықтырады, яғни бірі бірінің толықтырушысы болады.

Мысалдар

1-мысал.  А={1,2,3,4,5,6}, B={-2,-1,1,2,3,7,10} жиындары берілген. А[pic 23]В, А[pic 24]В, А\В жиындарын табу керек.

Шешуі. Жоғарыдағы анықтамаларға сүйеніп,

А[pic 25]В={1,2,3},  А[pic 26]В={-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,10}, А\В={4,5,6} болатынын байқаймыз.

2-мысал. А=[3,5], В=(2,4). А,В–көрсетілген аралықтағы нақты сандар жиыны. А[pic 27]В, А[pic 28]В және А\В жиындарын табу керек.

Шешуі. Жоғарыдағы анықтамаларға сүйенсек, А[pic 29]В=[3, 4), А[pic 30]В=(2, 5], А\В=[4,5].

3-мысал. [pic 31], [pic 32], [pic 33], яғни А,В жиындары көрсетілген аралықтағы бүтін сандар жиындары. [pic 34], А\В және В\А жиындарын табу керек, егер  болса.

Шешуі. А жиыны –3-тен 8-ге дейінгі барлық бүтін сандарды, В жиыны –10-нан 4-ке дейінгі бүтін сандарды көрсетеді.

[pic 35], [pic 36], А\В[pic 37], В\А[pic 38] формулалары бойынша (жиындардың бірігуі, қиылысуы, айырмасы):

[pic 39]; [pic 40] ; А\В[pic 41]; В\А[pic 42].

4-мысал. [pic 43], [pic 44]. А[pic 45]В, А[pic 46]В, А\В және В\А жиындарын табу керек.

Шешуі. 4-ке бөлінетін сандардың соңғы екі цифрынан құралған санның 4-ке бөлінуге тиісті, ал 5-ке бөлінетін сандардың соңғы цифры 5, не ноль болатын сандар екенін ескерсек, жоғарыдағы сұраулардың жауаптары мыналар болатынын көреміз:

[pic 47].

[pic 48], х-нөлмен аяқталатын және 4-ке бөлінетін сандар}. Бұл сандар соңғы цифры ноль болатын, ал екінші цифры (оңнан солға қарай есептегенде) жұп сан болатын сандар болады.

А\В[pic 49] және х-тің соңғы цифры ноль емес}.

В\А[pic 50] және х-тің соңғы цифры ноль  болады, оның алдындағы цифры тақ сан болады}.

Енді екі жиынның теңдігін дәлелдеуге мысалдар келтірейік.

Екі жиынның теңдігі олардың бірдей элементтерден тұратынын көрсетеді. Сондықтан А=В теңдігін дәлелдеу үшін [pic 51] және [pic 52]-ны көрсету керек. Яғни [pic 53] үшін [pic 54] болатынын және керісінше [pic 55] болғанда [pic 56] орындалатынын көрсетсе болғаны.

5-мысал.  А\В=А[pic 57]В/ тепе-теңдікті дәлелдеу керек.