Векторлар және оларға қолданылатын сызықтық амалдар

3- тақырып.  Векторлар және оларға  қолданылатын сызықтық амалдар. Векторлардың скалярлық, векторлық және аралас көбейтінділері

1 Векторларға сызықтық амалдар қолдану

Өзiнiң сандық мәнiмен толық анықталатын шамаларды скалярлық шамалар деп атайды. Скалярлық шамаларға мысалдар: аудан, ұзындық, көлем, масса, жұмыс, температура.

Векторлық шамалар өздерiнiң сандық мәндерiмен және бағыттарымен анықталады. Векторлық шамаларға мысалдар: күш, жылдамдық, үдеу.

Анықтама. Вектор деп бас нүктесi [pic 1]-да соңғы нүктесi [pic 2]-да жататын бағытталған [pic 3] кесiндiсiн айтады. [pic 4] векторы [pic 5][pic 6] векторына қарама-қарсы вектор деп аталады. [pic 7] векторына қарама-қарсы вектор[pic 8] деп белгiленедi.

[pic 9] векторының ұзындығы немесе модулi деп [pic 10] кесiндiсінiң ұзындығын айтады да, оны  мына формуламен табады.

[pic 11] немесе [pic 12]

Ұзындығы нөлге тең векторды нөлдiк вектор деп атайды да, [pic 13]деп белгiлейдi.

Ұзындығы бiрге тең векторды бiрлiк вектор немесе орт деп атайды. [pic 14] вектордың бiрлiк векторының бағыты осы вектормен бағыттас, оны [pic 15] деп белгiлейдi.

Анықтама. Бiр түзудiң немесе параллель түзулердің бойында жататын [pic 16]  және [pic 17] векторларын коллинеарлы  векторлар деп атайды,  оларды [pic 18] деп белгілейді.

Анықтама. Бiр жазықтықта немесе параллель жазықтықтар бойында жататын кеңiстiктегi үш вектор  компланарлы  векторлар деп аталады.

Анықтама. [pic 19] векторының  нақты [pic 20] санына көбейтiндiсi деп ұзындығы [pic 21]-ға тең, [pic 22] болғанда [pic 23] векторымен бағыттас,[pic 24]болғанда[pic 25]векторына қарама-қарсы бағыттас болатын [pic 26] векторын айтады.

Векторларға қолданылатын сызықтық амалдардың қасиеттері:

1. Векторларды қосудың ауыстырымдылық қасиеті:   [pic 27]

2. Векторларды  қосудың  терімділік қасиеті: [pic 28]

3. Векторды санға көбейтудің сандарды қосуға қарағанда үлестірімділік қасиеті:   [pic 29]

4. Векторларды санға көбейтудің векторларды қосуға қарағанда үлестірімділік қасиеті:  [pic 30]

5. Векторларды санға көбейтудің үлестірімділік қасиеті: [pic 31]

6. [pic 32]                          7. [pic 33]         

2  Векторлардың скалярлық көбейтіндісі

Векторлардың проекциялары

Кеңістікте  бағытталған  [pic 34] түзуi берілсін.

Анықтама. [pic 35] векторының [pic 36] түзуіндегі  сандық проекциясы деп [pic 37] векторының ұзындығы мен [pic 38] векторы мен [pic 39] түзудің арасындағы [pic 40] бұрышының косинусына көбейтіндісін айтады, яғни

[pic 41]

Сонымен, [pic 42] вектордың [pic 43]бағытындағы проекциясы мен оның сандық проекциясының арасындағы байланыс мына теңдік арқылы беріледі:

[pic 44]

мұндағы  [pic 45]  векторы [pic 46] түзудің бірлік векторы.

[pic 47] және [pic 48] векторлардың [pic 49] бойындағы сандық проекцияларының  қасиеттері:

1. [pic 50](1.40)        2. [pic 51](1.41)

        Анықтама. [pic 52]  және [pic 53] екі вектордың скалярлық көбейтіндісі деп екі вектордың ұзындықтарының көбейтіндісін, олардың арасындағы [pic 54] бұрышының косинусына көбейткенге тең санды айтады