Контрольная работа по "Финансовой математике"

Рассмотрим игру 3 игроков, которых будем обозначать A, B, C. У каждого игрока иметься одна из двух стратегии.

Для игрока A стратегии будем обозначать через IA, IIA.

Для игрока B стратегии будем обозначать через IB, IIB.

Для игрока C стратегии будем обозначать через IC, IIC.

Выигрыш игрока A определяется матрицей

[pic 1]

Выигрыш игрока B определяется матрицей

[pic 2]

Выигрыш игрока C определяется матрицей

[pic 3]

Число a111 определяет сумму, которую получит игрок A, при условии, что игроки применят стратегии IA, IB, IC.

Пусть [pic 4]стратегии игроков A, B, C, соответственно, тогда выигрыши игроков будут определяться по формулам:

[pic 5]                   (1)

[pic 6]                      (2)

[pic 7]                     (3)

Рассмотрим соотношение (1).

[pic 8]

Поэтому

[pic 9]

Обозначим

[pic 10]

Тогда

[pic 11]

Рассмотрим соотношение (2).

[pic 12]

Значит

[pic 13]

Обозначим

[pic 14]

Тогда

[pic 15]

Рассмотрим соотношение (3).

[pic 16]

Поэтому

[pic 17]

Обозначим

[pic 18]

Тогда

[pic 19]

Равновесием по Нэшу в такой игре называется такой набор стратегий [pic 20], что выполняются неравенства

[pic 21]                                                                                     (4)

[pic 22]                                                                                      (5)

[pic 23]                                                                                     (6)

Если существует такой набор стратегий [pic 24], что выполняются неравенства (4)-(6), тогда будем говорить, что игра разрешима в чистых стратегиях.

Однако такого набора может не существовать. Поэтому вводиться понятие смешанных стратегии. Смешанной стратегией будем называть набор вероятностей применения игроком чистых стратегии. В данной игре это будет набор чисел [pic 25], которые будут означать вероятности применения игроками стратегии IA, IB, IC. Тогда вероятности применения стратегии IIA, IIB, IIC , будут соответственно равны [pic 26].

В этом случае ожидаемый выигрыши игроков будут определяться формулами (4)-(6), где [pic 27].

Рассмотрим неравенство (4).

Функция [pic 28]по переменной [pic 29]линейна поэтому выполнение неравенства (4) будет выполнено для всех[pic 30], если выполняются неравенства

[pic 31]                                                                            (7)

[pic 32]      .                                                                       (8)

Рассмотрим неравенство (7)

[pic 33]

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобку [pic 34] получим

[pic 35]                            (9)

Обозначим через

[pic 36]

Введем обозначения

[pic 37]

С учетом этих обозначений получаем, что

[pic 38]

Тогда неравенство (9) примет вид

[pic 39]                                                                                             (10)

Рассмотрим неравенство (8)

[pic 40]

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобку [pic 41] получим

[pic 42]

Последнее неравенство примет вид

[pic 43]                                                                                    (11)